1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教案设计

1.2 独立性检验的基本思想

东莞市第四高级中学

周应祥

1．内容和内容解析

(1)内容:独立性检验的基本思想及实施步骤, 基本思想是: ①

根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界,然后查临界值表,确定临界值k0; ②

利用公式（1）,计算随机变量K2的观测值k2; ③

如果k2k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过;否则,就认为在犯错误概率不超过的条件下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”. 主要是给“判断分类变量X和Y有关系”建立上述规则,并且这个概率的上界必须在随机抽样之前就要确定,不能在计算随机变量K2的值之后,再去确定.

（2）内容解析:统计学的思想方法如下:①利用频率、等高条形图直观判断两个分类变量有关;理解结论(1) |adbc|的值越小,说明两个分类变量之间关系越弱;（2）|adbc|的值越大,说明两个分类变量之间关系越强;②理解独立性检验的基本思想,主要是在假设H0的前提下,如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件,因为小概率事件在一次试验中,极少发生,因此,我．．．．．．．．．．们更愿意相信H0不成立,即“分类变量有关系”成立;③独立性检验的基本思想的关键是理解2临界值表的含义.以为例,其含义是:概率的上界为k2.706P(K2.706)0.10,在假设0．．．．“两个分类变量有关系”发生的概率超过H0的前提下,K22.706发生的概率不超过0.10,即0.90.④掌握随机变量K2的观测值判断两个分类变量有关系的解题步骤,而随机变量K2的构造过程则不要求学习. 独立性检验的实施步骤是:(1)假设H0:两个分类变量没有关系;（2）由列联表中数据,利用公式（1）计算K2的观测值为k2;（3）查临界值表得概率的上界;（4）确定两个分类变量有关的可靠程度及其犯错误的概率.

教学重点:理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

2．目标和目标解析

（1）目标: 1.学生经历分析频率差异的比较、画出等高条形图,掌握初步判断两个分类变量是否有关的统计方法; 第

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2.学生通过探究|adbc|的值及其对两个分类变量是有关的可靠程度的影响,体会结论(1) |adbc|的值越小,说明分类变量X与Y之间关系越弱;（2）|adbc|的值越大,说明分类变量X与Y之间关系越强; 3.师生共同讨论概率的上界的变化,调整对应的临界值k0,弄清楚临界值k0对两个分类变量是否有关的影响,理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

4.比较反证法原理与独立性原理,明确两者之间的联系与区别.

（2）目标解析: 1.在引例中,学生经历如何判断数学成绩合格与性别有关的过程,理解列联表的概念、分类变量的概念,会画等高条形图; 2.在实例中,学生通过探究得出adbc0后,分析得到结论:(1) |adbc|的值越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱;（2）|adbc|的值越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强,分别计算实例、引例、练习2的|adbc|的值,理解其对两个分类变量是否有关的影响,并求出各自的可靠程度,学生由不完全归纳法深化对该结论的认识,在记忆中留下深深的烙印; 3.在假设H0的前提下,针对概率的上界的变化,调整对应的临界值k0,理解在假设H0的前提下概率的上界的变动,对两个分类变量是否有关的影响,体会概率的上界的意义,理解在随机抽样之前一定要根据实际的问题,设定两个分类变量是否有关的概率的上界; 4. 通过比较反证法原理与独立性检验原理了解两者之间的关系,即在假设H0成立的前提下,反证法中推出一个与H0相矛盾的不可能事件,而独立性检验的原理是出现一个与H0相矛盾．．．．．的小概率事件. ．．．．．

3．教学问题诊断分析

1．本节课的内容独立性检验对学生来说是全新的内容,为什么有这么一个方法？为什么要学习这个方法？

2．独立性检验相当于建立一个判别“两个分类变量之间有关系”这一结论是否成立的规则,并且给出该规则把“两个分类变量之间没有有关系”错判成“两个分类变量之间有关系”的概率.所以首先要教会学生的是了解并初步理解这个规则,而后才是会用这个规则解决问题. 3．独立性检验难以理解的一个主要之处在于凭空出现一个K2,这个随机变量K2是怎样构造出来的,为什么如此构造？教材在这一部分处理上,是先进行某一临界值的讲解,而后再给出临界值表,这对于学生是比较难以理解的,为什么就给出这么一个临界值呢？有这个问题的存在,学生对接下来所谈到的内容会有所怀疑,不一定十分认同.为了突破这个难点,我采用“先入为主”的思想,把教材后面介绍的临界值表提前讲解,用概率知识解读临界值表的含义,引导学生先接受统计学上的知识,而后在应用过程中进一步理解,这样进行调整后,学生对独立性检验的思想的接受就更容易一些. 教学难点:①了解独立性检验的基本思想; ②了解随机变量K2的含义,K2的观测值很大,第

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就认为两个分类变量是有关系的.

4．教学支持条件分析

为了高效课堂目标,考虑到学生的知识水平和理解能力,从学生的认知规律出发,让学生自主学习,运用探究式法,充分调动学生的积极性,让学生逐步领会独立性检验的基本思想,掌握独立性检验的方法. 学生每人要准备一个计算器;由于表格较多,需制作PPT辅助教学.

5．教学过程设计

复习:函数关系是一种确定关系,相关关系是一种不确定关系,可以用函数模型去拟合两个相关的关系,通过上一个单元的学习,我们知道用回归分析的方法去判断这种拟合效果的好坏.现实世界里,处理上述的变量之外,还没有新的变量呢？带着这样的问题,我们今天今天的课堂. (1)创设情境,提出问题

引例:数学某次周测成绩情况如下:90至150分（含90分）,共20人,其中男生15人,女生5人;0至89分,共30人,其中男生10人,女生20人.问:这次考试数学成绩合格与性别有关吗？

问题1（1）列表整理数据; 问题1（2）男生的合格率是______;女生的合格率是_______;班级的合格率___________ 你认为数学成绩合格与性别____关系.（填:“有”或“没有”）

问题1（3）画出数学合格率的图形.预设答案如下:问题1（1）

不合格

合格

合计

男生

10 15 25 女生

20 5 25 合计

30 20 50 问题1（2）0.6;0.4;0.2;有

数学成绩合格率与性别关系问题1（3）条形图如图1: 1.0学习概念①分类变量,如果某种变量的不同“值”表示个0.8体所属的不同类别,像这样的变量称为“分类变量”; 0.6不合格②等高条形图,有关频率分布的图形.

合格0.4

0.2【设计意图】①从学生熟悉的学习情境创设一个实际问题0.0情境,这个问题非常容易回答,可以提高学生学习下面内男生女生容的热情;②提前提出分类变量、列联表、等高条形图的概念,避免在实例的教学中,损耗学生的精力,发散他们的注意力, 图1 降低学习质量.

实例:为研究吸烟是否对肺癌有影响,某肿瘤研究所

随机地调查了9965人,得到如下结果（单位:人）: 吸烟与肺癌列联表1-7

不患肺癌

不吸烟

7775 吸烟

2099 合计

9874 那么吸烟是否对患肺癌有影响？

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患肺癌

42 49 91 合计

7817 2148 9965

学生活动——思考、交流、合作讨论. 问题2（1）在不吸烟者中患肺癌的比例是 ;在吸烟者中患肺癌的比例是___________; 结论是吸烟者的患肺癌率是不吸烟者的________倍. 问题2（2）画出吸烟与患肺癌的等高条形图. 你认为吸烟与患肺癌____关系.（填:“有”或“没有”）

预设答案:问题2（1）.42490.54%;2.28%;4;78172148吸烟与患肺癌的关系有关系. 1.00.9问题2（2）. 等高条形图如图2,有. 0.80.7

0.60.5

0.40.3【设计意图】在复杂的问题中,学生受到引例的启发,再次0.20.1应用频率差异较大、等高条形图去直接判断吸烟与患肺癌0.0不吸烟有关系,成功的体验,将提高学生继续学习的兴趣.

引导性语言:我们直观判断“吸烟与患肺癌有关”,那么这种判断的

可靠程度怎么样呢？为了研究的一般性,在列联表1-7中用字母代替数

字,得到列联表如下:

不患肺癌

患肺癌

合计

a

ab

b

不吸烟

c

d

cd

吸烟

n

ac

dd

合计

其中,nabcd

[1]启发探究

我们假设H0:吸烟与患肺癌没有关系

问题3（1）在不吸烟者中患肺癌的比例是______ 在吸烟者中患肺癌的比例是______ 问题3（2）我们假设H0:吸烟与患肺癌没有关系,则应得到什么结论？

问题3（3）由adbc0可以初步得出什么结论? 预设答案: 问题3（1）. bd;; abcd不患肺癌患肺癌吸烟图2 问题3（2）.吸烟的患肺癌的比例约等于不吸烟患肺癌的比例. bd,b(cd)d(ab),adbc0

abcd问题3（3）结论①|adbc|越小,说明吸烟与患肺癌之间关系越弱,吸烟对患肺癌影响越小;②

|adbc|越大,说明吸烟与患肺癌之间关系越强,吸烟对患肺癌影响越大. 问题3（4）分别计算实例与引例中的|adbc|的值. 第

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预设答案:292817;3832

【设计意图】①要研究两个分类变量有关系是不容易解决的问题,本着“正难则反”的思想方法,借助反证法的思考模式,将问题转化为两个分类变量无关,利用事件独立的概率相关知识,用频率代替概率,利用列联表由学生自己动手推导出,在H0成立的条件下有adbc,进而引（adbc）出随机变量K2公式中的部分结构. ②在假设H0的前提下,得出K2的观测值应该很小,而K2的观测值应该很大,说明H0不成立,即“两个分类变量有关”,为后面理解独立性检验的基本思想奠基;

[2]新知解读

引导性语言:为了使不同样本的数据有一个统一而又合理的评判标准,统计学家们经过研究后n(adbc)2构造了一个随机变量K=,其中

nabcd为样本容量. (ab)(ac)(cd)(bd)2我们假设H0:吸烟与患肺癌没有关系

若假设H0成立,K2应该很小;若K2很大,说明假设不成立,即两变量有关系. 同时统计学家们还得到了如下的临界值表:

P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 下面讨论临界值的使用方法.

举例说明:（1）k00.445,P(k20.455)0.50,在假设H0的前提下,k20.455发生的概率不超过0.50,即吸烟与患肺癌有关系发生的概率超过.50. （2）k02.706,P(k22.706)0.10,在假设H0的前提下,k22.706发生的概率不超过0.10,即吸烟与患肺癌有关系的概率超过0.90.

【设计意图】随机变量K2含义的理解是本节课的难点之一,利用概率知识解读临界值表中数．．据的含义,有助于学生理解独立性检验的基本思想.

接下来,我们就利用统计量K2来判断探究中“吸烟与患肺癌有关”的可靠程度. 问题解决:解:（1）假设H0:吸烟与患肺癌没有关系,由样本数据得到随机变量K2的观测9965(777549422099)256.6326.635. 值k781721489874912（2）查临界值表得:P(k26.635)0.10. 因此,在假设H0的前提下,k26.635成立的概率的不超过为0.10,即吸烟与患肺癌有关第

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系的概率超过0.90,所以我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系,这种推断犯错误的概率为1%. 学生分组讨论:解决数学成绩合格与性别有关的问题. 预设答案:解:（1）假设H0:数学成绩合格与性别没有关系

50(2015105)28.3307.879. （2）由样本数据得到随机变量K的观测值k2525302022（3）查临界值表得:P(k27.879)0.005. 因此,在假设H0的前提下,k27.879成立的概率不超过为0.005,即:吸烟与患肺癌有关系的概率为0.995,所以我们有99.5%的把握认为吸烟与患肺癌有关系,这种推断犯错误的概率为0.5%.

【设计意图】让学生自己通过对随机变量K2含义的理解,亲身去体会是接受H0还是拒绝H0,．．实现教学重点,即理解独立性检验的基本思想.本环节设计为由学生先进行小组讨论,有些学生不会利用所学知识来分析问题,通过小组讨论,用集体的力量来进行知识的学习,能增强学生对独立性检验的了解,并体会到合作的有效作用.

上面这种利用随机变量K2确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 小结独立性检验的实施步骤

(1)假设H0:两个分类变量没有关系; （2）由列联表中数据,利用公式（1）计算K2的观测值为K2 ; （3）查临界值表得:临界值的概率的上界; （4）确定两个分类变量有关的可靠程度及其犯错误的概率.

【设计意图】分别通过实例、引例中关于独立性检验问题的解决,由学生小结其步骤,规范学生的解答,提高其概括能力与归纳能力.

随堂练习

1、在吸烟和患肺癌这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是 （ ）

A、若K2的观测值k=6.635,我们在犯错的概率不超过0.010的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B、从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺病

C、若从统计量中求出有5%的可能性使得推断出现错误,是指有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系

D、以上三种说法都不正确

预设答案:C

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【设计意图】理解临界值表概率的上界的意义.

2、为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效和无效）是否有关,进行了相应的抽样调查,调查的结果列在下表中,根据所选择的193个病人的数据,能否以90%的把握认为药的效果与给药方式有关的结论？

有效

无效

合计

口服

注射

合计

58 64 122 40 31 71 98 95 193 预设答案:解:(1)假设H0:药的效果与给药方式没有关系

（2）由列联表中数据,利用公式（1）计算

193(58316440)1.3902.706

K2的观测值为:k29895122712（3）查表得:P(K22.706)0.10 因此,不能以90%的把握认为药的效果与给药方式有关的结论.

【设计意图】要理解清楚一个数学概念,我们必须从正反两个方面去辨析,才能把概念的特征辨认清楚.

[3]总结提升: 一般地,对于两个分类变量X和Y,X有两类取值,即类A和B（如吸烟与不吸烟）;Y也有两类取值,即类1和2（如患肺癌与不患肺癌）.于是得到下列联表所示的抽样数据:

类1 类2 合计

类A a

b

ab

cd

类B

c

d

合计

ac

bd

n

其中,nabcd.假设H0:分类变量X与Y没有关系. 应用独立性检验的基本思想是: （1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界,然后查临界值表,确定临界值k0. （2）利用公式（1）,计算随机变量K2的观测值k2; （3）如果k2k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过;否则,就认为在犯错误概率不超过的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发第

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现足够证据支持结论“X与Y有关系”. 反证法原理与独立性检验原理的比较

反证法原理

在假设H0下,如果推出一个矛盾（不可能事件）,就证明了H0不成立. 独立性检验原在假设H0下,如果出现一个与H0想矛盾的小概率事件,就推断H0不成理

立,且该推断犯错误的概率不超过这个小概率. 【设计意图】小结独立性检验的基本思想,提高学生的概括能力、抽象能力与逻辑思维能力,深化对该统计思想的理解,又掌握应用独立性检验解决问题的步骤,提升数学修养

⑷小结引申,构建体系

由学生谈本节课学习的收获,并对所学内容进行归纳. 判断两个分类变量是否有关的方法如下: 1、通过频率比较法,图形分析法判断两个分类变量是否有关系;（不精准）

bd（1）|adbc| （2） abcd2、利用独立性检验精确判断两个分类变量是否有关系. （1）假设无关

（2）求k2值 （3）下结论、

【设计意图】初步形成以科学的态度评价两个分类变量有关系的可能性.

6.目标检测设计

1、为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随即抽取300名学生,得到如下列联表:

喜欢数学课不喜欢数学课总计

程

程

男生

37 85 122 女生

总计

35 72 143 228 178 300 我们能够以多大的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？

答案:临界值k03.841,k24.5133.841,因此,能有95%的把握.

【设计意图】运用独立性检验的基本实施步骤判断两个分类变量有关系,正确理解临界值表的意义,为作业2作基础性训练.

2、某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计,具体数据如下:

损坏餐椅未损坏餐椅

总计

数

数

文明标语张贴前

文明标语张贴后

总计

39 29 68 157 167 324 196 196 392 第

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我们能够以90%的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？

答案:临界值k02.706,k21.7803.841, 因此,不能.

【设计意图】运用独立性检验的基本实施步骤判断两个分类变量有关系,要求学生理解在随机调查前设定的概率的上界是非常必要的,这是统计的一个重要的思想.通过作业进一步构建独立性检验的思想体系

7、板书设计

§1.2

独立性检验的基本思想

1.临界值表 1.绝对值趋于零的推导过程的板书

2.随机变量公式 2.分别计算引例与实例中的上述值

3.临界值表的意义 4. 判断两个分类变量 3.比较引例、实例与练习2中的两个分类变量

的基本步骤: 有关的可靠程度

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