2.2.2 反证法课程导入

2．2.2

反证法

教材分析

直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种方法：综合法和分析法；间接证明的一种基本方法：反证法．

反证法，可以说是一个难点．因为以前我们的证明所采用的方法均为直接证明法，由已知到结论，顺理成章．而对于间接证明的反证法，许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反证法思想．其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明法不可替代的作用．

课时分配

1课时．

教学目标

1．知识与技能目标

(1)使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法；

(2)培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力．

2．过程与方法目标

(1)从两则故事入手，体会反证法的威力，领会反证法的含义．

(2)引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生的思维能力．

3．情感、态度与价值观

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满了探索性和创造性，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想．

重点难点

重点：(1)理解反证法的概念；

(2)体会反证法证明命题的思路方法及掌握反证法证明的步骤；

(3)用反证法证明简单的命题．

难点：理解“反证法”证明如何得出“矛盾的所在”．

教学过程

引入新课

事例一：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城，绝不能中计也．”于是急令退兵．这就是家喻户晓的“空城计”．

提出问题：

1．诸葛亮面临的问题是什么？

2．从正面考虑该如何解决这个问题？

3．诸葛亮是如何考虑的？

事例二：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

这就是著名的“道旁苦李”的故事．实质上王戎的论述，也正是运用了反证法．

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视引导，可以让几位同学说说讨论的结果，最后教师总结．

活动成果：熟悉这个故事，却从没想到它其实是反证法的思想体现，很快得出结论：诸葛亮从问题(守住城)的反面(不守城)考虑，解决了用正面方法(用少数老弱军士去拼杀)很难或无法解决的问题．让学生分析“空城计”与反证法的联系，通过这一妙用反证法的典范欣赏诸葛亮的聪明才智．

学情预测：可能学生以前接触过，应该会很快回答出来．

设计意图

这个活生生的例子的引入，让学生感受到反证法存在的价值，激发学生的学习兴趣．

探究新知

提出问题：初中已学过反证法，什么叫做反证法？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生的交流．

活动成果：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

学情预测：这个问题应该绝大多数能回答出来．

设计意图

回顾已知，为学习新知识做好准备．

提出问题：将9个球分别染成红色或白色．那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，请你证明这个结论．

活动设计：先让学生独立思考，小组交流．

活动成果：假设有某种染法使红色和白色球的个数都不超过4个，则球的总数应不超过4＋4＝8(个)，这与球的总数是9矛盾．因此，无论怎样染，至少有5个球是同色的．

学情预测：可能有的同学用直接证明的方法证明这个结论，则需要将各种染色方法具体列出，再对每种染色方法一一进行验证，然后得出结论，这样做比较麻烦．

设计意图

通过小例子体会反证法存在的价值，领会反证法证明问题的方法．

理解新知

提出问题：反证法的含义是什么？

活动设计：先让学生独立思考，总结．

活动成果：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法．

学情预测：可能表述不准确．

设计意图

了解反证法的数学含义．

运用新知

例1已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．

b思路分析：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝，从正面较难说清为什么只有这个a根．我们采用反证法，即证明如果不是一个根则会导致矛盾．

b证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝. a如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①

ax2＝b.②

①－②，得a(x1－x2)＝0. 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．

所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．

点评：通过本例题的交流，深刻领会反证法证明问题的方法，加深对反证法的理解．

反证法证明的步骤是什么？(共分三步) (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

巩固练习

用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是(

) A．将结论与条件同时否定，推出矛盾

B．肯定条件，否定结论，推出矛盾

C．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用

D．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件

答案：B 例2用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分．

已知：在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径．

求证：弦AB、CD不被P平分．

思路分析：反证法证明三步走．

证明：假设弦AB、CD被P平分，连接OP，由平面几何知识可推出：OP⊥AB且OP⊥CD. 又推出：在平面内过一点P有两条直线AB和CD同时与OP垂直，这与垂线性质矛盾，故原命题成立．

点评：由上述两例题可看出：利用反证法证明时，关键是从假设结论的反面出发，经过推理论证，得出相矛盾的结论，这是由假设所引起的，因此这个假设是不正确的，从而肯定了命题结论的正确性．

反证法证明的关键是：第二步即从结论的反面出发，经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有以下几种情况：

(1)与原题中的条件矛盾；

(2)与定义、公理、定理、公式等矛盾；

(3)与假设矛盾．

巩固练习

已知直线a，b和平面α，如果aα，bα，且a∥b，求证：a∥α.

证明：因为a∥b，所以经过直线a，b确定一个平面β.

因为aα，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．

因为bα，且bβ，所以α∩β＝b. 下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾．

所以a∥α.

变练演编

p，q为实数，若p3＋q3＝2，试用反证法证明p＋q≤2. 思路分析：此题直接由条件推证p＋q≤2是比较难的，因此用反证法证之．

证明：假设p＋q>2，(p＋q)3＝p3＋3p2q＋3pq2＋q3>8. 又∵p3＋q3＝2，∴代入上式，得3pq(p＋q)>6，即pq(p＋q)>2.①

又由p3＋q3＝2，即(p＋q)(p2－pq＋q2)＝2代入①得pq(p＋q)>(p＋q)(p2－pq＋q2)，

(p－q)2<0. 但这与(p－q)2≥0矛盾，∴假设p＋q>2不成立．故p＋q≤2. 点评：反证法是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明中用反证法非常简洁，但并不是每一类题用反证法都恰到好处，那么，对于哪些题目适合用反证法呢？

(1)从这些条件推出的结论很少或无法用已知条件进行直接证明的．

(2)当问题中能用来作为推理依据的公理、定理很少，无法直接证明或证明无从下手的．

(3)结论以否定的形式出现，无法引用定理来证明否定形式的结论．

(4)对要证明的命题，已知它的逆命题是正确的．

(5)要求所证明的命题适合某种条件的结论唯一存在．

达标检测

1．已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0(

) A．至多一个实根

B．至少一个实根

C．一个实根

D．无实根

2．已知α∩β＝l，aα，bβ，若a，b为异面直线，则(

) A．a，b都与l相交

B．a，b中至少一条与l相交

C．a，b中至多一条与l相交

D．a，b都与l相交

答案：1.A

2.B

课堂小结

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精锐的武器之一．”一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显、具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能容易解决．

反证法证明的基本步骤：

1．假设命题结论的反面是正确的；(反设) 2．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推缪) 3．由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)

布置作业

课本本节练习1、2.

补充练习

基础练习

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设(

) A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D．三角形中三个角都是直角或钝角

2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中(

) A．有一个内角小于60°

B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°

D．每一个内角都大于60°

3．“a

)

A．a≠b

B．a>b

C．a＝b

D．a＝b或a>b 4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设(

) A．a不垂直于c

B．a，b都不垂直于c C．a⊥b

D．a与b相交

答案：1.B

2.B

3.D

4.D 拓展练习

5．用反证法证明如果a>b>0，那么a>b. 6．在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B一定是锐角．

答案或提示：

5．证明：假设a不大于b，则a0，b>0，∴a

ab，ab当a＝b时，a＝b＝b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，

∴a>b. 6．提示：显然命题的结论是正确的，但直接证明是比较困难的，而用反证法就容易证明．请一同学证明．因∠B不是锐角有两种情况，即∠B为直角或钝角，必须对两种可能均加以否定，才能证明∠B一定是锐角．由此在运用反证法证明的命题中，如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确．

设计说明

【设计思想】

这节课理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为激发学生的学习兴趣，所以由经典历史故事引入．教学中注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中，感受到反证法存在的价值，对他们的思想、思维方式肯定会形成强烈的冲击，潜移默化地影响他们考虑问题的角度，这是做多少习题也换不来的成效．我想，这应该是数学的精髓吧！

【设计意图】

学生对反证法的认识，并不陌生，但是怎样引导学生体会反证法，会用反证法，体现学生的主体地位，这是设计这节课的主要目的，开阔学生的思维，打破以往的常规，多角度思考问题．

【设计特点】

引导学生从日常生活实际出发，对新知有所了解，结合学生熟知的具体的数学命题发现、归纳新知识，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更合理．

备课资料

例1求证：2，3，5不可能成等差数列．

思路分析：结论以否定的形式出现，无法引用定理来证明否定形式的结论，所以选用反证法．

证明：假设成等差数列，则有23＝5＋2，平方整理，得12＝7＋210. 移项再平方，得25＝40，矛盾．所以假设错误．

点评：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题．

例2设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．

思路分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”．

证明：假设AC⊥平面SOB，∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO. ∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O. 这显然出现矛盾，∴假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．

点评：否定性的问题常用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．

例3若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋ax＋a＝0，x2＋2ax＋2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．

思路分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根．先求出反面情况时a的范围，所得范围的补集就是正面情况的答案．

Δ1＝16a－43－4a<0，2证明：设三个方程均无实根，则有Δ2＝a－4a<0，Δ3＝4a2－8a<0，1所以当a≥或a≤0时，三个方程至少有一个方程有实根．

2点评：“至少”“至多”问题从反面考虑有可能使题目变得简单．本题还用到了“判别式法”“补集法”(全集R)，也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时(Δ≥0)a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集．两种解法都要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻．

2

1解得0