探究与发现 组合数的两个性质优质教案设计

课

题：

10．3组合

(四) 教学目的：

1掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；

2.提高合理选用知识解决问题的能力

教学重点：排列、组合综合问题

教学难点：排列、组合综合问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体

一、复习引入：

m1．排列数公式：Ann(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

m排列数的另一个计算公式：An=n!

(nm)!Anmn(n1)(n2)(nm1)2．组合数公式：Cm

Amm!mn或Cnmn!(n,mN,且mn)

m!(nm)!mnm03

组合数的性质1：Cn．规定：CnCn1；

mmm1 4．组合数的性质2：Cn

1＝Cn+Cn二、讲解范例：

例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本 222解：（1）根据分步计数原理得到：C6C4C290种；

222（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6C4C2种方法，这个过程可以分两步完成：第一3步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A3种222C6C4C2x15．因此，分为三3A3方法．根据分步计数原理可得：CCCxC26242233，所以

份，每份两本一共有15种方法

点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．

．．．．mmCmnCmnm一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素），共有

nAnmCm种方法

123（3）这是“不均匀分组”问题，一共有C6C5C360种方法．

1233（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有C6C5C3A3360种方法．

（5）可以分为三类情况：

222①“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有C6C4C290种方法；

1233②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C6C5C3A3360种方法；

43③“1、1、4型”，有C6A390种方法，

所以，一共有90+360+90＝540种方法．

练习：将9个人(含甲,乙)平均分成三组,甲乙分在同一组,则不同的

分组方法种数是( ) A.70 B.140 C.280 D.840 33C6C3解析：先选好甲乙所在组的人，7选1；剩余6人均匀分成2组的方法是，由分步2A233C6C3计数可得C=70

2A217例2．身高互不相同的7名运动员站成一排，

（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？

（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？

4解：（1）（法一）：设想有7个位置，先将其他4人排好，有A7种排法；再将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在剩下的3个位置上，只有1种排法，根据分步计数原理，一共有4A7840种方法

3（法二）：设想有7个位置，先将甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排在其中的3个位置上，有C7

4种排法；将其他4人排在剩下的4个位置上，有A4种排法；根据分步计数原理，一共有34C7A4840种方法．

点评：按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题

（2）（插空法）先将其余4个同学进行全排列一共有A4种方法，再将甲、乙、丙三名同学3插入5个空位置中（但无需要进行排列）有C5种方法．根据分步计数原理，一共有4

43A4C5240种方法．点评：不相邻插空处理

例3．（1）

四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？

（2）

四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？

解：（1）根据分步计数原理：一共有4256种方法；

2（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有C4323种方法；第二步：从四个不同的盒中任取三个将球放入有A4种方法，所以，一共有C4A44＝144种方法．

例4某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿种（用数字作答）。

解答：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不24同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，①

甲、丙同去，则乙不去，有C5=240A4344种选法；②甲、丙同不去，乙去，有C5=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有A5A4120种选法，共有600种不同的选派方案

课堂练习：

1.马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？

解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求3方法总数为C620种方法

点评：将事件等价处理。

2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( D ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种

四、小结

：

1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；

2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；

3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；

4．需要注意的是，均匀分组（不计组的顺序）问题不是简单的组合问题，如：将3个人分111成3

组，每组一个人，显然只有1种分法，而不是C3C2C16种

一般地，将mn个不同元素均匀分成n组，有mCmnC(mn1)mmAmmCm种分法；

5．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题

五、课后作业：

1.教材P.104第12,13 2.优化设计

P.118-P.119 3.补充：将5名实习教师分配到高二年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，求不同的分配方案数。（解答：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，12C5C4最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有15种方法，2A23再将3组分到3个班，共有15A90种不同的分配方案）

六、板书设计（略）七、课后记：

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