探究与发现 组合数的两个性质优质教案设计

《组合数的两个性质》教学设计

山西省吕梁市离石区江阴高级中学

高燕燕

(一)

教学目标：

①掌握组合数的两个性质并会进行简单应用. ②体验数学形式化和数学本质的关系. （二）教学重点、难点：

教学重点：组合数的两个性质. 教学难点：理解和领悟两个性质的本质. （三）教学模式

问题探究模式

（四）教学过程：

1、从特例引入形式化的公式

本节课我们学习“组合数的两个性质”.首先，大家用学过的公式计算一下:

98①C100

13412345②C4及C5

的值. ,C4,C4,C5,C5,C5,C5问题1：观察②中数值，看有什么发现？你会简化①的计算吗？

239821314发现：C4；C5；C5.

C100

(! ?) （学生不敢肯定！）

C5C100C4C5问题2：能否有一个更一般的式子？

mnm一般地有：CnCn.

问题3：m,n有限制条件吗？

m,nN,且mm. 问题4：能否用组合公式给出证明？

(证明从略!) 45问题5：对C41,C51你有何看法？如何处理才能使数学知识变得更和谐，更系统！

0规定：Cn1. 问题6：你能更全面地表达一下公式吗？

mnmCnCn,m,nN,mn.(公式一)

2、一种现实内容的解释

mnm我们已证明了公式：CnCn.公式是一种抽象的数量关系的形式.此公式恰有确切的现实意义，反映了一类具体的现实关系.请看！

例1：某班早晨派4名同学值日，要求3人扫地，1人打水，问有多少种分派方法？

1

解：这是一个组合问题. 31可以答C4,即4人中任选3人扫地，剩下1人打水；也可以答C4,即4人中任选1人打水，剩下3人扫地. 12虽然安排时选取的角度不同，但总有C4. C4例2：在a,b,c,d四个元素中任选3个，问有多少种选法？

解：可列出如下选取法：

a,b,c——d

a,b,d——c

b,c,d——a

c,d,a——b 可见，选取3个和选取（或说剩下）1个是一一对应的，虽然计数角度不同，但选法数相同. 例3：填空：

1798①C20＝

；

②C100＝

；

x2x7③若C20，则x＝

.

C203、思想方法上的小结

问题7：通过以上的学习，你对公式的获得和公式的理解有何看法？（组织学生讨论，大致应得出如下结论!）

Ⅰ、形式公式，有时可以从特例的计算中获得发现. Ⅱ、形式公式往往有现实意义的解释；换一个角度来说，有时，也可能从现实解释中，发现又一个形式公式. mⅢ、公式一有改变计数角度，简化运算的作用.（当m时，通常将计算Cnnm改为计算Cn.）

n24、发现又一类现实事例

再看一个例子：

例4：在8件产品（其中1件次品）中，

①随机抽取3件进行检验，有几种可能？

②随机抽取3件进行检验，若次品一定抽到，有几种可能？

③随机抽取3件进行检验，若次品一定不抽到，有几种可能？

323（通过引例的分析和计算，引导学生发现：C8;叫学生再具类似的C7C72例子，比如：如何把C4的组合数分为两类，进而猜测到组合数的又一个一般性质）

5、又一个数量形式

mmm1一般地有：Cn(nm1)，

1CnCn这个公式形式地一般性体现在：①m,nN的一般性；

111011②即使是某一个具体的m,n，比如C41,实际事例的多变性. C40C40

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例5：某班有40名学生，从中选11人参加年级足球赛，规定班主任也可参加，有多少种选法？从中可以得到怎样的一个等式？

（解答从略）

6、由此推而想之（思考题与练习）

①在例4中，8件产品中抽取3件，若其中有2件次品，由此可以引出怎样的组合等式？把它一般化呢？

mm1mm1②你能为组合等式CnCn1Cn1Cn1找到现实事例的解释吗？

2222③计算C2，你能把得出的结果一般化吗？

C3C4...C100

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