2.基本不等式教案评析

基本不等式ab

学习目标 ab (一) 2（第1、2课时）

学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

学习过程 一、课前准备

看书本填空

知识点1：重要不等式：对于任意实数a,b，有a2b2____2ab，

当且仅当________时，等号成立.

知识点2：基本不等式：设a,b(0,)，则ab_____ab，

2当且仅当____时，不等式取等号. 二、新课导学

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学习探究

探究1：基本不等式abab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

将图中的“风车”抽象成如图，

在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为a，b那么正方形的边长为____________.这样，4个直角三角形的面积的和是___________，正方形的面积为_________.由于4个直角三角形的面积______正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2b22ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH1

缩为一个点，这时有_______________

结论：一般的，如果a,bR，我们有a探究2：你能给出它的证明吗？

特别的，如果a0，b0，我们用a、b分别代替a、b，可得ab22b22ab，当且仅当ab时，等号成立. ab，

通常我们把上式写作：abab(a>0,b>0)

2abab？

2

问：由不等式的性质证明基本不等用分析法证明：

证明：要证 abab (1) 2只要证 ab (2) 要证（2），只要证ab____0 （3）

要证（3），只

要证(__________)20

（4） 显然，（4）是成立的. 当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. *

理解基本不等式abab的几何意义

2探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式ab

结论：基本不等式ab

评述：

ab的几何解释吗？

2ab几何意义是“半径不小于半弦”

22

1.如果把ab看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该2定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称ab为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理2还

可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

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典型例题 例1 （1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少？

（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?

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练习（课本100页）

1. x0时，当x取什么值时，x

2. 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的各最小，最小值是多少？

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典型例题 例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元

1的值最小？最小值是多少？

x3

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

三、总结提升

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学习小结

在利用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等号. ※

当堂检测

1. 已知x0，若x＋81的值最小，则x为（ ）. xA． 81 B． 9 C． 3 D．16 2. 若0a1，0b1且aA．ab，则ab、2ab、2ab、a2b2中最大的一个是（ ）. 2b B．2ab C．2ab D．aabb2

3. 若实数a，b，满足ab2，则33的最小值是（ ）. A．18 B．6 C．223 D．32

814. 已知x≠0，当x=_____时，x＋2的值最小，最小值是________. x5. 做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，底面的长为_______，

宽为________时，用纸最少.

课后作业 1. （1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

2. 一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 4