三 反证法与放缩法教学实录

章节：4.5 课时：

3

备课人：王世鹏

课题名称

学习目标

三维目标

1.了解反证法与放缩法. 2. 会利用反证法与放缩法证明不等式.

重点目标

了解反证法与放缩法

导入示标

学做思一：

题型一

反证法证明不等式

自学探究 难点目标

会利用反证法与放缩法证明不等式

第二讲 2.3 反证法与放缩法

abc0,abbcca0,abc0,

问题1.已知a,b,c为实数， 求证：a0,b0,c0.

【反思】(1)此题用的证明方法有什么特点?

(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步 分清欲证不等式所涉及到的 ；

第二步 作出与所证不等式 假定；

第三步 从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出 ；

第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 目标三导

证：（1）设a < 0,

∵abc > 0,

∴bc < 0

又由a + b + c > 0,

则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0

与题设矛盾

（2）若a = 0，则与abc > 0矛盾，

∴必有a > 0

同理可证：b > 0,

c > 0 规律方法

用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

变式训练1 若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2。

xy反设1x1y≥2，≥2

∵x, y > 0，可得x + y ≤2

与x + y >2矛盾，∴原式成立

xy

学做思二

题型二放缩法证明不等式

问题2.

【例2】

设Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，

求证：不等式nn＋12n＋1

22【反思】此题用的证明方法有什么特点?

[思维启迪] 利用n2＜nn＋1＜证明

∵Sn>12＋22＋…＋n2

nn＋1＝1＋2＋…＋n＝. 21＋22＋3n＋n＋1且Sn<＋＋…＋

2222n＋135＝＋＋…＋

2222n＋1n＋12135<＋＋＋…＋＝

22222nn＋1n＋12∴

(2)利用常用结论：

①122＝＞＝2(k＋1－k)，

kk＋kk＋k＋1n＋n＋1放缩，进而求证

2122＝＜＝2(k－k－1)(k∈N＋，k＞1)；

kk＋kk＋k－111111111②2＜＝－；2＞＝－(程度大)；

kkk－1k－1kkkk＋1kk＋1111111－③2＜2＝＝(程度小)．

kk－1k－1k＋12k－1k＋1111变式训练2 求证：1＋2＋2＋…＋2<2 (n∈N*)．

23n11111111111－

1－＋－＋…＋证明

1＋2＋2＋…＋2<1＋＋＋…＋＝1＋22323n1·22·3n－1nnn－11＝2－<2. n

技能提炼

★1．若x, y > 0，且x + y >2，则1y1x和中至少有一个小于2 xy2.当

n > 2 时，求证：logn(n1)log(n1)n.

变式反馈

(1a)b,(1b)c,(1c)a不能都大于 1.设0a,b,c1,证明：★2.

设x > 0, y > 0,a达标检测

★3.设an1

4.求证：1.

4xyxy, b，求证：a < b

1xy1x1y111,a2.求证：an2.

aaa3n2311111222(n≥2)

2n12nn1.知识建构

2.能力提高

反思总结

3.课堂体验

同步练习

课后练习