2.基本不等式教学设计第一课时

南宁市隆安中学

选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

★编号:01 ★课型：新授课 ★应用班级： 姓名： ★日期：2018年5月 日 ab

基本不等式：ab（1）

（选修4—5）

2学案内容

备注

【学习目标】1、通过实例了解基本不等式推广：abc(

一定要领会转化过程。

abc3)；

32、解题时注意数形结合思想，转化思想、

不等式abc(【学习重点】

【学习难点】

abc3)的应用

3构造“三个数”和或积为定值

一、课前自主学习（一）复习

1、基本不等式ab

；（

）

变式：ab ;ab （两个正数的算数平均数不小于 2、基本不等式应用：求函数的最值

(1)当两个正数a,b，若ab为定值，则ab有 值为 【学习过程】

（2）当两个正数a,b，若ab为定值，则ab有 值为 3、用基本不等式证明：x2y2xy2()

22证明方法一：（作差比较法）

x2y2xy2() = 证明左边-右边=22所以

证明方法二：（用基本不等式）因为(xy)2x2y22xy

☆

又因为x2y22xy，即2xyx2y2代入☆式得(xy)2x2y2x2y2

(xy)2

两边除4得：4★ ★

1

★

★

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选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

注意（转化思想）：式子(xy)xy2xy中，有xy这项，但要证明的结论只有x2y2，所以想办法把xy转化为x2y2。

例如：在对角线相等的所有矩形中，（1）怎样的矩形周长最长？

（2）怎样的矩形面积最大？

解：设矩形的长、宽分别为a,b，对角线为cab；（c是定值）

（1）周长L2(ab),L24(ab)24(a2b22ab)4(a2b2a2b2)

222222L2 当且仅当 ，等号成立。

即 ；周长有最大为

（2）面积sab（想办法ab转化为ab）

22

（二）探索新知识：

问题1：段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大?最大面积是多少？

解：

设长为x,则宽362xx18x2)，

，0x18，面积yx(18x)(22当且仅当

时，即

，最大面积

问题2：边长为a的正方形铁片的各角切去大小相等的小正方形，再把它的边沿着虚线折转做成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

解：设切去的正方形边长是x，则方底的盒子的底面正方形的边长为

；

无盖方底的盒子的容积V(a2x)x

2思考：函数v(a2x)2x还是二次函数吗？（

）

还是两个正数的乘积吗？（

）我们可以把它看做三个正数a2x,a2x,x的乘积？

基本不等式abab是否可以推广到三个正数呢？

2请看课本选修４—５第8页，（证明过程自己好好研究）

（1）a2b22ab(a)2(b)22

（2）a3b3c33abc(3a)3(3b)3(3c)33

（a,b,c都是正数）

★ ★

2

★

★

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选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

当且仅当

等号成立。

abc叫三个正数的

；3abc叫三个正数的

3

结论：基本不等式的特殊与一般

ab

；1 若a,bR，则（当且仅当

等号成立。）

2

abc

（当且仅当

等号成立。2、若a,b,cR，则）

3

aa2an

3、若a1,a2,,an都是正数，则1

n

（当且仅当

等号成立。）

（本质：n个正数的和与n个正数积的关系）

2例1、上面的问题2：V(a2x)x

分析：V(a2x)2x(a2x)(a2x)x，看成三个数的积，若和为定值就好了，

但是(a2x)(a2x)x2a3x是定值吗？要和为定值，应该要相加可以把x抵

12消就可以了，所以可以这样“构造”V(a2x)x(a2x)(a2x)4x

4

此时：(a2x)(a2x)4x2a

(请看课本选修4—5第9页例6)

三、课堂合作展示（新知识的应用）

1

1、求函数yx2(13x)在[0,]上的最值；

3提示：构造“三个数”使“和为定值”

abc

（意义：

即3

3、体积为V的圆柱中，底面半径r和圆柱的高h为多少时，其表面积最小？

22分析：定值为rh，目标函数为S2r2rh，如何构造“三个数“的使其“积

2、在表面积一定的长方体中，怎样的长方体的体积最大?

★ ★

3

★

★

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选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

为定值”;

4、课本选修4-5第10页第14题

已知球的半径为R,求内接圆柱的底面半径为r，高为h，则r和h为何值时，内接圆柱的体积最大；

h2R2即4r2h24R2) 解：分析(1)先找定值是什么？看课本的图r42(2)目标函数Vrh，这里的h是一次，已知h是二次

所以变：Vrh，如何构造“三个数”

使其和为定值呢？

22422三、课堂小结

1、收获有（新知识、方法）：（1）a,b,c均为正数，则

abc

；abc

；abc

3（2）难点：构造“三个数”使“和为定值或积为定值”；

2、疑惑是：

【课后提升】

23(x0)的最小值为

。

x122、求函数y3x2(x0)的最小值为

。

x1、函数y2x3、若ab0，则a

1的最小值为

。

(ab)b4、求函数

y4x216的最小值为

。

(x21)2★编号:02 ★课型：新授课 ★应用班级： 姓名： ★日期：2018年5月 ab基本不等式：ab（2）

（选修4—5）

2学案内容

备注

【学习目标】

★ ★

4

★

★

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选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

ababc3)证明不等式；

或abc(232、思想与方法：数形结合思想，转化思想、

1、知识与技能：

用基本等式ab3、情感、态度与价值观：每个小组成员认真展示，大胆质疑；每位同学激情投入，快乐学习；

【学习重点】

证明时会辨别

“和变积”还是“积变和”；

习

【

学

难

点

构造

（拆项、添项、平方）满足不等式的条件；

【学习过程】

一、课前自主学习

基本不等式的特殊与一般

ab

；1 若a,bR，则（当且仅当

等号成立。）

2abc

（当且仅当

等号成立。2、若a,b,cR，则）

33、若a1,a2,,an都是正数，则a1a2nan

（当且仅当

等号成立。）

（本质：n个正数的和与n个正数积的关系）

二、课堂合作展示

题型一：直接能利用基本不等式（多个、多次运用也可以）

1、选修4—5第10页第5题

2、选修4—5第10页第6题（1）

3、选修4—5第10页第8题

★ ★

5

★

★

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★主备人：梁秀红

4、选修4—5第10页第12题

题型二：构造（添项、拆项后才能用基本不等式）

5、选修4—5第10页第6题（2）

6、选修4—5第10页第7题

7、选修4—5第10页第10题

8、（2013年全国课标2卷）设a,b,c均为正数，且abc1，证明：

a2b2c2(Ⅱ)1;（提示右边的1可以看作已知条件）

bca

★ ★

6

★

★

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选修4—5 不等式★导学案

★主备人：梁秀红

题型三、平方后再构造

9、选修4—5第10页第11题

10、2013年2卷

1设a,b,c均为正数，且abc1，证明： (Ⅰ)abbcca; 3

三、课堂小结

1、收获有（新知识、方法）：（1）a,b,c均为正数，则

abc

；abc

；abc

3（2）难点：构造“三个数”使“和为定值或积为定值”；

2、疑惑是：

1.设0＜a＜b，且ab1，则下列四个数中最大的是(

) 122A.

B．ab C．2ab D．a

2★ ★

7

★

★

【课后提升】

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★主备人：梁秀红

2、若b>a>0 , 则下列不等式一定成立的是

(

)

abababb

B. b>aba

A. a>

22

abababa

D. b>a>ab

C. b>

22

3.下列不等式的证明过程正确的是(

)

4baba4

A. . 若a , b∈R , 则2B. 若x是负实数, 则x+≥2x=4

2

；xababx

C. 若x、y是正实数, 则lgxlgy≥2lgxlgy

abababD. 若a , b∈R且ab0, 则()22

34、（2014·福建高考文科·Ｔ9）要制作一个容积为4m，高为1m的无盖长方体容器，

已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是是每平方米10元，则该溶器的

最低总造价是

（

）

A.80元B.120元C.160元D.240元

bababa

5. 已知x0,y0,x2y2xy8,则x+2y的最小值（ ）

A. 4

B. 3 C.

6、已知a , b , c∈R, 且abc1, 求证:

+911 D.

221119

abc

★ ★

8

★

★