有理数的加减混合运算教学设计第一课时

§2.6 有理数加减混合运算（1）

本课学习要点

1.会把减法统一成加法，并会用两种方法叙述省略加号与括号的的代数和；

2.能用运算律简化多个有理数的加减混合运算；

3.会把有理数的加减混合运算应用于生活实际。

【核心素养发掘】（促进学习能力发展）

1.有理数加减混合运算如何统一为加法？

答：利用有理数的减法法则可以将加减混合运算全部统一为加法. 学习启迪：很多新知识都建立在旧知的基础上，对于加减混合运算也是如此，将减法转化为加法后，就没有新知识存在了. 例1. 计算353513（-13+（-23）=0-（-25）（25）+（-23）

234152523）

解：原式= =）（-）=++（-23

强化：有理数混合运算步骤：①有理数的减法运算统一为加法运算;②按照从左到右的顺序计算;③有括号时要要计算括号里面的.

2.为什么要学习“代数和”？

答：省略了加号的几个有理数的和的式子叫做几个有理数的代数和

学习启迪：在省略加号、括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的。有理数的加减法的混合运算的算式经常写成省略括号的和的形式. 例2.将(2)(1)(7)(9)写成省略加号和括号的形式，并说出它的两种读法。

答：因为(2)(1)(7)(9)2179读法1：-2，-1，+7，-9的和；

读法2：负2减1加7减9. 强化：在统一成加法的有理数混合运算中，通常可以省略加号；同一符号，既可以看成运算符号，还可以看成性质符号，它们具有双重功能，但只能用一次，即一定要注意：“一号一读，一号一用”，同一符号不能同时应用两次.

3.如何运用运算律简化有理数加减混合运算？

答：在进行有理数加减混合运算的时候，可以用加法交换律、结合律使运算更简便，一般可以把同分母分数相结合，比较容易同分的分数相结合，和为整数的相结合，同号的相结合，再分别相加. 学习启迪：小学时学习的加减混合运算的运算律对于有理数混合运算同样适用，区别在于每一个加数（被减数或减数）可以为负数. （例3. 用两种不同的方法计算781218-478）（--512）（--318）（-414）

解法1：原式=-453-414

（ =-478318）（512-417414）

（- =398258）（112-） （-=174）+54

=-2

7851231218）=-3185-41412解法2：原式=-4（ =

-4-14）（-435-4）（-781812-14） -4-78 =0（-12

强化：在交换加数的位置时，切记要连同前面的符号一起交换.

【知识内化引导】（促进概念方法记忆巩固）

1.有理数混合运算的法则：①有理数的减法运算统一为加法运算;②按照从左到右的顺序计算;③有括号时要要计算括号里面的. 2. 省略了加号的几个有理数的和的式子叫做几个有理数的代数和. 3.在进行有理数加减混合运算的时候，可以用加法交换律、结合律使运算更简便. 变式训练：

1.若a3,b5,c8，则abc的值为__-6____．

2.某地一天早晨的气温是－7 ℃，中午气温上升了11 ℃，下午又下降了9 ℃，晚上又下降了5 ℃，则晚上的温度为____-10____℃. 3.

根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为__-5______．

734.－3减去－与－的和的结果是( D ) 551911 A．－ B．－

55 C．－5 D．－1 5．－7，－12，＋2的和比它们的绝对值的和小( D ) A．－38 B．－4 C．4 D．38

6.小明近期几次数学测试成绩如下：第一次88分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，那么小明第四次测试成绩是( C ) A．93分 B．78分

C．94分 D．84分

7．计算：

(1)(－49)－(＋91)－(－5)＋(－9)；

(2)－7.2－0.9－5.6＋1.7；

（（3）-2.5）-（-12）+（-15）-（-3）

解：(1)原式＝－49－91＋5－9＝－144.

(2)原式＝－8.1－5.6＋1.7＝－13.7＋1.7＝－12. (3)原式=-52+12+（-15）+3=-2+（-15）+3=145+3=445

8.用运算律简便计算

（①134）（-613）-2.25103（--234）

10011002②123-4-5-67891011129979989991000

解：①原式=[13423434][（63421413）103]-2.25

1313）]214[(12)()]（[63）（-34 41232

143 ②原式

（997998999100010011002）（123-4-5-6）（789101112）=（-9）（-9）（-9）

共167个（-9）167=-1503 =9.若“三角”表示运算abc，“方框”表示运算xyzw，求＋表示的运算，并计算结果．

解：根据题意得：18)＝－8. 12＋1111＝(－＋)＋[(－2)－3＋(－6)＋3]＝(－)＋(－42612

【纠错核心点拨】（消除知识建构混乱）

1.在有理数加减混合运算中，和式第一个加数为正数时，正号可以省略不写。

2.同一符号既可以看作运算符号，也可以看作性质符号，它们具有双重功能，但只能用一次。

即一定要注意“一号一读，一号一用”同一符号不能同时应用两次。

3.在交换加数的位置时，切记要连同前面的符号一起交换。

4.利用加法交换律、加法结合律进行简便运算时，其原则是正数和负数相结合、同分母分数或比较容易通分的分数结合，和为整数的小数结合等，再分别相加。

【典型错误分析】（具体感受错在哪里，怎么纠错）

（10.-213）（--14213）（--23）（-23）（-534）

1434【错解】原式=[(-）]（[-）（-5）]

【错解分析】解答错误的原因在于在使用加法交换律交换加数的位置时，没有连同数字前面的符号一起交换。

[【正解】原式=（-22313）（--2312)123）][（--14-512）（-534（-1-5）（-23）](213-1223)(1453416)

16 (1)(5）-6（-1）-7

11.把（-4）（--7）（-5）（2）写成省略加号的形式（ ）

A.-4-7-52 B.-4752 C.-4-7-52 D.-47-52

【错解】C. 【错解分析】错误的原因是学生在省略加号的时候，不知道何时改变符号；省略加号、括号的代数和中，性质符号和运算符号是统一的. 【正解】D.

【能力提升分享】（以发展创新思维）

12. 充分利用有理数加减的混合运算解决看似复杂的问题，请你利用本节所学知识，解决如下问题. (1)有1、2、3、…11、12共12个数字，请在每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0；

(2)有1、2、3、…2 015、2 016共2 016个数字，请在每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0；

(3)根据(1)(2)的规律，试判断能否在1、2、3、…2 014、2 015，共2 015个数字的每两个数字之间添上“＋”或“－”，使它们的和为0.若能，请说明添法；若不能，请说明理由．

解：

(1)1－2＋3－4＋5－6－7＋8－9＋10－11＋12＝0.

(2)1与2 016是正的，2与2 015是负的；3与2 014是正的，4与2 013是负的；依次类推…1 007与1 010是正的，1 008与1 009是负的．即：1－2＋3－4＋…＋1 007－1 008－1 009＋1 010－…－2 013＋2 014－2 015＋2 016＝0.

(3)不能，因为由(1)(2)可知：数字的总个数应该是偶数个．

§2.6 有理数加减混合运算（1）课后作业

【A组基础题】

1. 把-2+（+3）-（-5）+（-4）-（+3）写成省略括号和的形式，正确的是（

D ）

A．-2+3-5-4-3 B．-2+3+5-4+3

C．-2+3+5+4-3 D．-2+3+5-4-3

2.式子-20-5+3+7读作（

C ）

A．20，5，3，7的和

B．20，5，3，7的差

C．负20，负5，正3，正7的和

D．3与7的和及20与5的差

3.（2016•南通模拟）

一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，晚上又下降了9℃，晚上的气温是（

A ）

A．-5℃

B．-6℃

C．-7℃

D．-8℃

4.（2016•项城月考）-3减去5.若b075与35的和的结果是 -1 . b，则a,ab,ab中最大的是 a . 6.

河里的水位第一天上升了6厘米，第二天下降了5厘米，第三天又下降了3厘米，第四天上升了7厘米，则第四天河水水位比刚开始时的水位__ 上升了5______厘米．

7.计算下列各题：

（1）(－9)－(－7)＋(－6)－(＋4)－(－5)；

（2）(＋4.3)－(－4)＋(－2.3)－(＋4)；

31（3）4－(＋3.85)－(－3)＋(－3.15)．

44解：（1）原式＝－9＋7－6－4＋5＝(－9－6－4)＋7＋5＝－19＋12＝－7；

（2）原式＝4.3＋4－2.3－4＝2. （3）原式＝4.75－3.85＋3.25－3.15＝1. 8.（2016•苍山质检）某摩托车厂本周内计划每日生产300辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实际每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的车辆数为正数，减少的车辆数为负数）

（1）本周三生产了摩托车 辆；

（2）本周总生产量与计划生产量相比，是增加还是减少？

（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了多少辆？

解：（1）根据题意得：300-50-72+35=265（辆），

（2）根据题意得：-50-72+35+42+10=-35（辆），

则本周总生产量与计划生产量相比减少了35辆；

（3）根据题意得：42-（-72）=42+72=114（辆），

则产量最多的一天比产量最少的一天多生产114辆．

9.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，在输入数b，就可以得到运算：ab(ab)ba．

（1）求（-3）*2的值；

（2）求（3*4）*（-5）的值．

解：（1）（-3）*2=（-3-2）-|2-（-3）|=-5-5=-10；

（2）因为3*4=（3-4）-|4-3|=-2，

（-2）*（-5）=[（-2）-（-5）]-|-5-（-2）|=0，

所以（3*4）*（-5）=0．

【B组能力提升题】

10．有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简aabcbc= 0 .

11.在数1，2，3，4，…，405前分别加“+”或“-”，使所得数字之和为非负数，则所得非负数最小为 1 .

12.已知1aba1ab20，求下列式子的值.11(a2018)(b2018)1(a1)(b1)

(a2)(b2)解：由绝对值的性质可得：a原式=112+12121202012313+134131,b2

1141

1202020192020 =1 =1

2019

20192020

§2.6 有理数加减混合运算（2）

本课学习要点

1. 提高用运算律简化多个有理数的加减混合运算的能力；

2. 会通过阅读折线统计图获取信息，并正确画出折线统计图；

3.会利用折线统计图解决实际问题。

【核心素养发掘】（促进学习能力发展）

1.如何利用有理数的加减法混合运算解决统计图表问题？

答：利用有理数的加减混合运算解决实际问题中常常遇到的统计图表问题，看图表时先要理解图表下面标“注”的含义，这个会提示图表中数据的处理方法，数据含义，有时也标注在图表之中，应理解其中正负号的含义. 学习启迪：很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决. 例1.

小明去一水库进行水位变化的实地测量，他取警戒线作为0 m，记录了这个水库一周内的水位变化情况(测量前一天的水位达到警戒水位，单位：m)：

10月

时间

5日

水位

＋0.15 变化(m) 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．

(1)这一周内，哪一天水库的水位最高？哪一天水库的水位最低？它们位于警戒线水位之上，还是位于警戒线水位之下，与警戒线水位的距离分别是多少？

(2)与测量前一天比，一周内水库的水位是上升了，还是下降了？

(3)以警戒线水位为0点，用折线统计图表示这一周的水位变化情况．

解：(1)这一周内，10月5日的水位最高，是＋0.15 m，10月10日的水位最低，是－0.13 m；10月5日水位位于警戒线之上，距离是0.15 m；10月10日水位位于警戒线之下，距离是0.13 m．

(2)与测量前一天比，一周内水库的水位是上升了．

(3)折线统计图如图. －0.2 ＋0.13 －0.1 ＋0.14 －0.25 ＋0.15 6日

7日

8日

9日

10日

11日

10月

10月

10月

10月

10月

10月

强化：解决此类问题的关键是理解第一个表格中每一天的数据是相对于前一天的数据来说的．

2.如何有理数的加减混合运算确定实际问题中的位置？

答：先确定一个标准量，利用正数和负数表示一对相反意义量，再利用有理数的加减混合运算求出结果，结果为正数表示在原位置的正的方向，结果为负数表示在原来位置的负方向. 学习启迪：最后的位置和原来的位置的比较是相对的，所选标准不同，列式不一样. 例2. 一名潜水员在水下80米处发现一条鲨鱼在离他不远处的上方25米的位置正往下游追逐猎物．当它向下游42米后追上猎物，此时猎物做垂死挣扎立刻反向上游，鲨鱼紧紧尾随，又向上游了10米后猎物被鲨鱼一口吞掉．

（1）求鲨鱼吃掉猎物时所在的位置．

（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，鲨鱼的位置有怎样的变化．

解：（1）（﹣80）+（+25）+（﹣42）+（+10）

=﹣80+25﹣42+10=﹣122+35=﹣87．

答：鲨鱼吃掉猎物时所在的位置是水下87米．

（2）与刚开始潜水员发现鲨鱼的位置相比，（鲨鱼向下游了32米），鲨鱼的位置在潜水员下方7米处．

强化：解决此类问题，理解正负数的意义，正确列式是关键. 3.如何利用有理数的加减混合运算求实际问题中的平均数. 答：在求一组比较接近的数的平均数时，可以选取某个较为“居中”的数作为标准点，用“+”和“-”表示超出和不足的部分. 学习启迪：选取“基准”后，可使各数的绝对值大大减小，从而有效地减少运算量及一些不必要的失误，提高解题的速度和准确性. 例3．10名学生参加体检，体重的测量结果（单位：kg）如下：

47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5．

这10名学生的平均体重是多少？你是怎么算的？

解：根据以40kg为标准，超过40kg的记为正，不足40kg记为负，

10名同学的体重为7，8，﹣2.5，2，5，0，﹣1.5，﹣5.5，﹣2，2.5，

这10名学生的平均体重是40+（7+8﹣2.5+2+5+0﹣1.5﹣5.5﹣2+2.5）÷10=40.8kg．

所以，这10名学生的平均体重是40.8kg．

强化：一般选取“标准”以上为正，以下为负列式，然后根据有理数的加减混合运算的方法进行运算即可. 【知识内化引导】（促进概念方法记忆巩固）

有理数的加减混合运算在生活中的应用

变式训练：

1.某河流的警戒水位为32.4米，最高水位为34.3米，如果取警戒水位为0点，则最高水位为____1.9____米，如果取最高水位为0点，则警戒水位为___-1.9_____米．

2.已知10名同学们演讲成绩，若以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+7，-3，+12，-7，-12，-1，-2，+6,0，+10，则这10名同学的总成绩

是 810 分. 3.如图为某周上海股市的股指变化折线统计图：

（1）用正数表示比前一天上涨，负数表示比前一天下跌，完成下表：

星期

一

二

三

四

五

股指变化（点）

+30

+10

﹣20

+40

﹣50

（2）

本周五股指与上周五相比变化值是 10元 .

5354.

计算－＋(－2)的结果是( C ) 6885511 A．－3 B．－2 C．－2 D．2

66665.水池中的水位在某天八个不同时间测得的记录如下：（规定与前一天相比上升为正，单位：cm）+3，-6，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这天水池中水位的最终变化情况是（

B ）

A．上升6cm 序号

2 3 B．下降6cm 4 5 C．没升没降

6 7 8 D．下降 9 10 6.某运动员先后参加了10次百米竞赛，成绩的变化情况如下表(第一次成绩为10.8秒)：

成绩(与

＋0.1 前一次

相比) ＋0.1 －0.3 ＋0.5 －0.1 －0.3 ＋0.2 －0.3 ＋0.2 请问这位运动员跑10次百米竞赛的平均成绩为( A ) A．10.91秒 B．10.92秒

C．10.93秒 D．10.94秒

7.某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）．

日期

1日

2日

3日

4日

5日

6日

7日

变化/万 20 ﹣3 ﹣10 ﹣2 2 9 3 人

（1）与9月30日相比，10月2日的客流量是

（填“上升”或是“下降”）了．

（2）与9月30日相比，10月7日的客流量是上升了还是下降了？变化了多少？

（3）若9月30日客流量为5万人，计算这次国庆假期七天客流量一共是多少？

解：（1）1日：+20；2日：20﹣3=+17；3日：+17﹣10=+7；4日：+7﹣2=+5；

5日：+5+2=+7；6日：+7+9=+16；7日：+16+3=+19，

故与9月30日相比，10月2日的客流量是上升了；

（2）与9月30日相比，10月7日的客流量是上升了，变化了19（万人）．

（3）若9月30日客流量为5万人，这次国庆假期七天客流量一共是5+20+17+7+5+7+16+19=96（万人）

故答案为：上升；上升，19万人；96万人．

8.实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用A﹣C表示观测点A相对观测点C的高度）根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是多少米． A﹣C C﹣D E﹣D F﹣E G﹣F B﹣G 90米

80米

﹣60米 50米 ﹣70米 40米 解：

由表中数据可知：

A﹣C=90①，C﹣D=80②，D﹣E=60③，E﹣F=﹣50④，F﹣G=70⑤，G﹣B=﹣40⑥，

①+②+③+…+⑥，

得：（A﹣C）+（C﹣D）+（D﹣E）+（E﹣F）+（F﹣G）+（G﹣B）

=A﹣B=90+80+60﹣50+70﹣40=210．

∴观测点A相对观测点B的高度是210米．

9.小红家收了8筐白菜，它们质量分别为： 26.4,22,27,24.5,25.8,23，23.2,22.5 （1）

这8筐白菜平均每筐重多少千克？

（2）

若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？

解：（1）如果以25千克作为标准，每筐白菜的质量分别为：

1.4，-3.2，-0.5,0.8，-2，-1.8，-2.5 所以，这8筐白菜的平均质量为：

125+（1.4-3.2-0.5+0.8-2-1.8-2.5）=25-0.7=24.38（千克）

（2）这8筐白菜可卖的钱数为：24.382.6=505.4（4元）

【纠错核心点拨】（消除知识建构混乱）

在求一组比较接近的数的平均数时，如果选取某个较为“居中”的数作为标准点，

“标准”以上为正，以下为负列式，然后根据有理数的加减混合运算的方法进行运算. 【典型错误分析】（具体感受错在哪里，怎么纠错）

10.把前2019个连续正整数1，2，3，…，2019的每一个数的前面任意填上“+”号或“﹣”号，然后将它们相加，则所得之结果为（

）

A．正数 B．奇数 C．偶数

D．有时为奇数；有时为偶数

【错解】D 【错解分析】凭感觉，认为既然是任意填上“+”号或“﹣”号，那么和的奇偶性也是随机的．

【正解】C 因为1+2+3+…+2019=（1+2019）20192=1010×2019，原和为偶数，只要一个数改变它的符号，新的和与原来的和相比减少这个数的2倍，故奇偶性不变. 11.出租车司机小李昨天在东西走向的某公路上运营，如果规定向东为正，向西为负，他昨天下午行程（单位：Km）如下：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，+6，问：

若汽油耗油量为0.1L/km，昨天下午汽车耗油多少升？

【错解】耗油量为：0.1（5﹣25﹣110﹣3﹣21246）=0.144=4.4（升）

【错解分析】行驶的总路程是绝对值之和，最终远离出发点的距离是代数和. （【正解】耗油量为：0.11525110321246）0.160（6升）. 【能力提升分享】（以发展创新思维）

12.数轴上有六个点，每相邻的两个点间的距离都是1个单位长度，有理数a,b,c,d所对应的点是这些点中的4个，位置如图所示，请解决如下问题．

（1）计算：ca= 3 ；d（2）计算b（3）若4ccada2d= 5 ；

的值；

的值．

和2aab，求abcd

解：（1）如图所示：

ca= 3 ；d（2）ba= 5 ；

；

cad=(ba)(cd)=2-2=0 2a2d=（2ad)2(5)10

（3）∵4c∴4c∴aab,ac3,bc1

，

. c3c1解得：c25,b3,d0，abcd=-5-3+2+0= -6

§2.6 有理数加减混合运算（2）课后作业

【A组基础】

11．若四个有理数之和的是3，其中三个数是－10，＋8，－6，则第四个数是( C ) 4A．＋8 B．－8 C．＋20 D．＋11 2．某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下(向东为正，单位：米)：1 000，－1 200，1 100，－800,1 400，该运动员跑的路程共为( B ) A．1 500米 B．5 500米 C．4 500米 D．3 700米

3. 计算0-2+4-6+8所得的结果是（

A ）

A．4 B．-4 C．2 D．-2

4. 把下列各式写成省略括号的和的形式：

(1)(＋7)－(＋8)＋(－1)－(－5)＋(＋3)＝ 7－8－1＋5＋3 ；

(2)9＋(＋5)＋(－6)－(－7)＝ 9＋5－6＋7 ；

11(3)－0.21＋(－5.34)－(＋0.15)－(－10)＝ －0.21－5.34－0.15＋10 . 555.大于-100且小于102的所有整数之和是 201 。

6．某河流的警戒水位为32.4米，最高水位为34.3米，如果取警戒水位为0点，则最高水位为____+1.9____米，如果取最高水位为0点，则警戒水位为_____-1.9___米．

7.计算

（1）(479)(316)229(616)

（2）(5.5)(4.8)(2.4)(8.1)

14181814（3）(0.125)(3)(3)()

答案：（1）-10（2）0.2（3）38

8. 对10名学生测量身高，以160cm为基准，超过的数记为正，不足的数记为负，量得结果记录如下（单位：cm）：5，5，﹣2，﹣8，4，﹣6，﹣2，1，﹣3，9．求这10名学生的平均身高是多少？

解：5+5+（-2）+（-8）+4+（-6）+（-2）+1+（-3）+9=3cm，

标准身高下的平均数是3÷10=0.3cm，

实际平均身高是160+0.3=160.3cm．

答：这10名学生的平均身高是160.3cm．

9.一个病人每天需要测量一次血压，下表是该病人星期一至星期五收缩压的变化情况，该病人上个星期日的收缩压为160个单位，（“+”表示收缩压比前一天上升，“﹣”表示收缩压比前一天下降）

星期

一

二

三

四

五

收缩压的变化/单位

+30 ﹣20 +15 +5 ﹣20 （1）请算出星期五该病人的收缩压．

（2）以上个星期日的收缩压为0点，请把如图的折线统计图补充完整．

（3）若收缩压大于或等于180个单位为重度高血压，该病人本周哪几天的血压不属于这个范围？

解：（1）160+30﹣20+15+5﹣20=170（个单位）．

故星期五该病人的收缩压为170个单位．

（2）星期一：30；星期二：30﹣20=10；星期三：10+15=25；星期四：25+5=30；星期五：30﹣20=10；如图所示：

（3）由折线统计图可知，该病人本周星期二，星期五的血压不属于这个范围．

【B组能力提升】

201320152017= . 10.计算：135791111.如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m个格子中所填整数之和是1004，则m的值为 602 . a

c

9 ﹣5 1

…

b

12.计算：12(1434)(163656)(1983989798)

解：原式=

122232492=12(12349)12252