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回顾与思考公开课教案｜教案在线预览

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关键词：回顾与思考公开课教案

正文

蚂蚁爬行最短路程问题的拓展

一．探究圆柱表面最短路径问题

教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于3 cm．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图：

BB A A

在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路径，如(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A→B.当然也得出了沿着直线段AB爬行最近。

现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬行路线是否都最短呢？

我们不妨看一个具体的：

问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块的下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃．．．．到上底面与A相对的B点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？BA

22如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是1(4)12.6 m，由于这个圆柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A点直接向上爬再沿着直径爬到B点的行程是1＋4×2＝9 m，确实比沿着侧面爬行短一些。

反思实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。

当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路2）路程最近？

为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h，底面半径为r，则沿线路1的最短行程是h2(r)2,沿线路2的行程是h+2r;不难得出：

（1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）

当时，线路2行程短一些。

二．探究长方体表面最短路径问题

如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？

教学步骤建议：

1．探究所有可能路径

2．确定最短路径

A1B1232(45)290；

A2B2242(35)280；

A3B3252(34)274．

因此，最短路径为A3B3．

∵0.8118.8，8.877.4474，

∴蚂蚁能在11 s内获取到食物．

3．推广延伸

若探究2中的长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，找出沿正方体表面从点A到点B的最短路径，并说明理由．

2a2bc

2最短

最大

路径

棱长

三．蚂蚁在圆锥表面的最短距离又是如何呢？

这个问题留给同学们讨论交流最终得结果。

蚂蚁从A出发回到A

蚂蚁从A爬到B

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回顾与思考公开课教案

回顾与思考公开课教案

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