利用两个一次函数的图象解决问题第二课时教案

《一次函数的应用》教学设计

北师大版义务教育课程标准实验教科书

数学

八年级（

上

册）

授课教师姓名

由科军

授课时间：2018

年

10月

30日

课 型：新课

教学目标：通过观察函数图象，能够从同一直角坐标系中的两个一次函数图象中获取有用信息，理解函数图象交点的实际意义。

知识与能力：利用函数图象，解决实际问题。（

过程与方法：通过创设较深层次的问题情境，激发学生参与探索活动，强化数学建模思想，提高学生运用已有知识灵活处理问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生辩证唯物看问题的观点和学习数学的兴趣和信心。

教材分析：本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．

重点：利用在同一坐标系的两个一次函数图象解决实际问题

难点：

1.从函数的图像中提炼出有用的信息。

2.对在同一坐标系中的两个一次函数图象交点哪个在上那个在下的对应区间的理解。

教学方法：引导启发

精讲精练

学法指导：自主探索

合作交流

教学过程：

第一环节：情境引入

1.一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题.

(1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前

y与

x之间的关系

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。

活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。

2.

l1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，根据图象填空：

（1）当销售量为2吨时，销售收入＝

元，

（2）

l1对应的函数表达式是

.

l2 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，

根据图象回答：

（1）当销售成本＝4500元时，销售量＝

吨；

（2）

l2对应的函数表达式是

.

观察一个一次函数图象，重点关注：

1.图象与x轴、y轴交点

2.

K, b的实际意义

l

反映了该公司产品的销售成本与

2

销售量的关系.

l1 反映了某公司产品的销售收

入与销售量的关系.

探究新知

（1）当销售量为6吨时，销售收入=

6000

元, 销售成本=

5000

元，利润=

1000

元. （2）你还能得到什么信息？

变式练习

下图

l1 l2

分别是新龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。

（1）乌龟与兔子

同

时，

同

地出发，

不同

时到达终点.

（2）这是一次

100

米赛跑.

（3）表示兔子赛跑的图象是

l2

.

（填“同”或“不同”）

（4）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有

米。

（5）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑

米。

应用探究：

一列慢车从甲地匀速驶往乙地，12h到达乙地.图中的线段表示慢车行驶路程y1（km）与慢车行驶时间x（h）之间的函数关系式为：y1=75x

①

试在上图中画出快车行驶的路程y2（km）与慢车行驶的时间x（h）之间的函数图

象；

②根据图象求出y2与x的关系式.

③请你求出点C的坐标，并解释点C的实际意义.

④当慢车出发4小时，此时慢车与快车之间的距离是多少？

⑤请问两车何时相距150km?

小结：

解决给出函数图象的问题时，应充分利用图象所反映的信息，尤其注意函数图象中关键

点所反映的信息！注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

第二环节：问题解决

例1小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为

36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h．

（1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？

（2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少千米？

分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？

解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2，

由题意得：S136t，S226t10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得

⑴两条直线S136t

，S226t10的交点坐标为（1，36）

S1S236km，36km，这说明当小聪追上小慧时，即离“古刹”已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸”

⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S145km，此时S242.5km

．

所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km）

思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S136t

，小慧的解析式为S226t10)？

目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力．

深入探究

例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇

B追赶（如图），下图中l1，

l2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系．

根据图象回答下列问题：

（1）哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系？

解：观察图象，得当t0时，B距海岸0 n mile，即S0，故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系；

（2）A，B哪个速度快？

解：从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5，即10 min内，A行驶了2海里，B行驶了5 n mile，所以B的速度快．

（3）15 min内B能否追上A？

解：可以看出，当t15时，l1上对应点在l2

上对应点的下方，

（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？

解：如图l1

，l2相交于点P．因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A．

（5）当A逃到离海岸l2海里的公海时，B将无法对其进行检查．照此速度，B能否在A逃到公海前将其拦截？

解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于l2，这说明在A逃入公海前，我边防快艇B能够追上A．

目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知识联系．

第三环节：反馈练习

1. 如图，lA与

lB分别表示A步行与B骑车同一路上行驶的路程S与时间t的关系．

（1）B出发时与A相距多少千米？

（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？

（3）

B出发后经过多少小时与A相遇？ （4）若B不发生故障，保持出发时的速度前进，

那么经过多少时间与A相遇？相遇点离B的出发点多远？

你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C．

2.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一yy起植树．设甲班植树的总量为甲（棵），乙班植树的总量为乙（棵），两班yy一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时），甲．乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．

yy（1）当0≤x≤6时，分别求甲．乙与x之间的函数关系式．

（2）如果甲．乙两班均保持前6 h的工作效率，通过计算说明，当x8时，甲．乙两班植树的总量之和能否超过260棵．

（3）如果6 h后，甲班保持前6 h的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当x8时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵．

甲乙

第四环节：课时小结

本节课你们有哪些收获？

本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．

二、作业布置：

作业：习题4.7

三、板书设计：（使用课件：是）

一次函数图象的应用

（一）、例题讲解

（二）想一想

（三）反馈练习

（四）课时小结

（五）课后作业

四、教学反思：

本节课是北师大版八年级上册第四章第四节的第三课时，本课时是一次函数应用的继续。上一课时主要围绕一个一次函数图象的应用展开，本课时主要围绕两个一次函数图像的应用展开，难度上有所提高。就本节课而言：

1.函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要内容．在本节教学设计中，从实际问题出发，让学生感受到学习函数的必要性，进而增强孩子学习欲望。进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题。

2. 注重知识的形成过程，并让学生深度理解教材。让学生总结用一次函数图象解决实际问题时，应学会识图。重点落在对图象的识别和理解上。观察图象时明确横纵轴表示的意义，清楚一次函数y=kx+b的k, b表示的实际意义，两个一次函数图像交点表示的实际意义等。

3.教学目标明确清晰，重难点突出，整个教学过程体现以学生为主的教学理念。但在讲解的过程中感觉一部分孩子的理解能力超强，但一部分孩子的理解能力稍微欠缺一些，这在后续的教学过程中，尽量使教学设计更贴合目前的学生，及时调整教学策略，使教学更有效，

本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力．