数学活动教案设计

反比例函数的图象和性质

第1课时

反比例函数的图象和性质

一、学生的知识状况分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型。本节课经历对两个变量之间关系的观察、分析过程，使学生经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义。教材以有趣的数学生活实例，让学生通过讨论合作的方式，理解反比例函数的概念，培养学生函数的数学思想，为学生能更好地“用数学抽象”打下基础。

二、学情分析

1、学生的年龄特点和认知特点

此阶段学生有比较强烈的自我发展意识。本节课让学生在做中探索，在做中感悟，在做中收获，老师可以尽可能的让学生在这些活动中表现自我，发展自我，从而感受数学的丰富多样，让学生尽情的去做探索者，研究者，挑战自己，展示自己。

2、学生在学习本课前应该具备的基本知识和技能

学生在本节课之前，已经学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已有了初步的认识，对数学抽象也有进一步的理解。在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验，为后继

学习二次函数等产生积极的影响。

教学内容

反比例函数的图像与性质

科目

数学

李永清

教学对象

九年级学生

课时

一、教材内容分析

1课时

教师

反比例函数的图像与性质这节课是人教版版九年级上册反比例章节的内容,反比例函数是初中三大函数之一，在上节课学习了反比例函数的概念后，本节课旨在要求学生会类比一次函数的图像，本节课学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，初步认识具体的反比例函数图象的特征。反比例函数的图象是在学生已经知道了研究函数图象的一般方法，以及一次函数的图象是一条直线的基础之上进一步去研究的。同时，反比例函数的图象也与众不同。针对教材及学生的实际情况，本节课的设计是让学生多动手去探索规律。

二、教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）

根据新课程标准的要求，结合教材的具体内容，我确立教学目标为：

1.

知识与能力：

能用描点法画出反比例函数的图象；体会并了解反比例函数图象的意义，掌握反比例函数的图象与性质。体会函数的几种表示方法，对函数进行认识上的整合。在此基础上理解反比例函数的性质；

2.

过程与方法：

经历画反比例函数图象与分析图象的过数形结合及类比的数学思想。程，提高学生作图能力，并在此基础上培养学生探究，归纳与概括的能力；体会

3. 情感态度价值观：

由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，并通过图象的直观教学激发学生的兴趣。培养学生积极参与，乐于探究，善于交流的意识和习惯。

三、教学重难点

教学重点：利用描点法画反比例函数的图象，利用图像探索反比例函数的性质；

教学难点：探索反比例函数的性质并灵活应用。

四、学情分析

在八年级学生已经接触过一次函数，并利用描点法画过一次函数的图象，利用图象探索出了一次函数的性质，大多数同学对描点法画函数的图象并不陌生。本节课是继一次函数学习之后，对函数知识的一次拓广，图象由一支到两支，形态由直到曲，所以在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

五、教学策略选择与设计

本着课堂上以教师为主导、学生为主体的教学原则，本节课通过教师指导点拨，学生自主探索，学生合作探究，师生共同学习等策略，突出学生是学习的主体。在教学过程中有意识地培养学生的动手画图能力以及合作探究与自主探究能力。

教学环节

思考：

教师活动预设

学生活动预设

设计意图

通过复习，熟悉函数的作图方法，为本节课学习反比例函数的图象与性质做铺垫

1.

正比例函数和一次函数的图象分

别是什么？

学生回忆，举手

一．复习作答

请写出反比例函数的解析式。一般导入:

地，如果两个变量x、y之间的关系

可以表示成Y=(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。）

3、判断下列解析式哪些是反比例函数的解析式。

4．反比例函数的定义中需要注意什么？

（1）k为常数，k≠0 （2）从y＝k/x中可知x作为分母，所以x不能为零. 3.函数图象描绘的步骤。

在教师引导之前先放手让学生画，目的是为了呈现问题，在做此步骤时，学生可能会出现画成直线，折线，单曲线的情形，，这时针对问题鼓励学生间相互讨论相互比较，之后在教师的引导下使学生加深印象，在描点连线的过程中教师应给予学生适当的引导。

1.鼓励学生按照自己的方法尝试

我们在八年级曾学习了正比例和一画出反比例函次函数的图象，知道它们的图象都是y=4/x的图象（此一条直线，那么反比例函数y=k/x时可指名板演，

（k≠0)的图象是什么样子，这就需由于学生初次遇要我们动手去做一做，才能得出结见画非线性函数论.本节课就让我们一齐来实践吧. 的图象，而且是

由两支断开的曲

线组成的图象，学生可能会出现二．画反比

各种各样的问题）

例函数的在学生独立思考，尝试并进行充分分析与交流的基础上，教师引导学生正

图象

确画出函数的y=6/x图象。

2.之后在教师的

引导下学生纠错。（对于学生1.列表：列表给出自变量与函数的一出现的问题，教些对应值。(多媒体演示过程) 师不应简单否定了事，而应鼓励强调注意：

学生充分表达自己的真实思考过x≠0

程）

列表时自变量取值易于计算,易于描

点。

3.小组讨论交加深流：画反比例函学生小结，印象

2.描点.以表中对应值为坐标,在平数图象时会出现面直角坐标系内描出相应的点. (多什么问题？

媒体演示过程)

3.连线.按照自变量由小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来. (多媒体演示过程)

自学反馈

1.作反比例函数图象时应注意哪些问题？

列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样即可简化计算，又便于对称描点；

列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又较准确的表达函数变化趋势；

连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性.

学生观察多媒体呈现的四位同学的画法，找出正确的画法。先自主思考，再小组交流总结画反比例函数时应该注意的问题：

1.列表时，自变量可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数，相应就得到了一个个图象上的点；

2.尽量多列一些自变量和对应的函数值，以保证图象更精确；

3.连线必须是光滑曲线；

4.图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。

反比例函数的图象不同于一次函数，比起一次函数，反比例函数的图象是由一支到两支，形态由直到曲。针对学生存在的问题增加这一环节是为了加深学生对错误做法的理解。

画函数

图像

5.自变量和因变量

都不能为0，曲线的发展趋势只能靠近

坐标轴,但不能和

坐标轴相交。

当学生学会做y=4/x的图象，函数

y=-4/x的图象便不成问

做一做

请大家用同样的方法作反比例函数y=-4/x的图象. （1）让学生自己作

图。

（2）多媒体出示正确的作图过程，让

学生参考。

（3）学生修改自己

的解题过程。

1.学生首先自主完成刚才所做的两个图象；

2.对照图象自己先猜想图象的特征以及异同点；

题对后面性质的探究做铺垫。

对照图象，研究反比例函数的性质

观察的反比例函数图象的形状和位置,思考下列问题：

1.反比例函数的图象是什么样的？

2.反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？

数学教学的目的之一是使学生学会学习，本环节以问题串的形式，使不同层次的学生都有一定的问题可答，并让学生学会寻找研究问题的途径，激发学生的探索热情，形成新的认知结构。

3.以四人一组为单位展开讨论反比例函数 y=k/x（k≠0)的图象在哪两

个象限,是由什么确定的。

4.总结反比例函数的图象和性质。

3.以小组为单位讨论交流反比例函数的图象及性质；

引导总结

4.指名发表自己的

见解并相互补充；

1.图象名称

每个反比例函数的图像都是由两支

曲线组成，因此称反比例函数的图象

为双曲线。

5.学生回答完毕教

师小结。

2.图象位置:

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的位置由k决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内;

当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内; 62.函数y=x的图象在

、

象限；每个象限内y随x的增大而减小. 63.函数y=x的图象在

、

象限，每个象限内y随x的增大而增大.

想一想：反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心.反比例函数图象是轴对称图形吗?如果是，请指出它的对称轴.

（一）随堂练习

1.反比例函数y=-6/x的图象位于

（

）

通过三道习题对反比例函数的图象和性质加以应用，这几个题目比较典型，具有代表性，第一个题目是直接运用性质解决问题，比较简单，面向全体学生。我还设计了第二个题目，这个题目是逆用性质，可以锻炼学生对性质的灵活应用。第三题体现了数学的整体思想，从而达到举一反三，学以致用的目的。

A．第一、三象限B．第一、二象限

C．第二、三象限D．第二、四象限

教师留给时间独立完成，之后指

2.若y=k/x的图象分别位于第二、第四象名作答，并让学限，则k的取值范围是 . 生对每道题加以总结；

四．性质应

用

3. 已知反比例函数y=k-2/x，当k满足什么条件时，其图象的两个分支

在第一、三象限内；当k满足什么条件时，其图象的两个分支在第一、三

象限内；

（1）你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？与同伴进行交流。

（2）如果在列表时所选取的数值不同，那么图象的形状是否相同？

（3）连接时能否连成折线？为什么

必须用光滑的曲线连接各点？

（4）曲线的发展趋势如何？

（曲线无限接近坐标轴但不与坐标轴

相交）

课后习题综合型比较强，能够很好地巩固本节课的知识。

学生先分四人小组进行讨论，而后小

组汇报

（二）课后练习

学生课后完成，对本节课加以巩固。

已知反比例函数y=k+3/x的图象过点

A（1，4）

（1）求出k；

(2) 写出这个反比例函数的表达式，并判断B（4，-1）是否在此函数的图像上；

（3）根据反比例函数的性质，说出这个反比例函数的图象在哪个象限；

（4）画出这个反比例函数的图象；

教师引导学生小结

在学生们共同归纳总结本节课的过程中，让学生获得数学思考上的提高和感受成功的喜悦并进一步系统地完善本节课的知识。

1.反比例函数图象的

形状；

2.反比例函数图象的位置由什么决定？如

五。

何决定？

课堂小结与作3.用描点法画反比例

函数的图象时应该注意什么问题？

业布置

4.本节课用到了什么

学生畅所欲言

数学思想？

作业：课本P23；习题1.7：第1、2题

板书设计

反比例函数的图象和性质（1）

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象：

板书呈现的是本节课的重点，简单明了，突出每个反比例函数的图像都是由两支曲线重点，体现了本节课的组成的，因此称反比例函数的图象为双曲内在联系，使学生对本线。

节课的知识加深印象。

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象位置:

反比例函数y=k/x（k≠0)的图象的位置由k决定。

当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内;

当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;