复习题29教案2

初中数学数形结合法与数学建模思想探究

★1 数形结合法：是数学中的重要思想方法之一，特点是通过几何图形、函数图像更直观的展示位置关系与数量关系；求解这类问题的关键是把“形”、“数”相结合与相互转化。在初中学习范围内十分重要，它为高中、大学等后续学习奠定基础，也是中考每年必考的一种思想方法，涉及的题型、题量的分值配备高达30多分。

★2 数学建模：是初中数学中解决一些同类变式题型的基本方法，广泛应用于三角函数、列方程解应用题、相似三角形、图形变换等知识，加强对常见数学模型的识记，有助于学生对所学知识进行系统归类，增强识图与应用数学的能力。

★★3 数形结合法在初中范围内的运用

★1、代数问题通过构造几何图形给予解决

【例1】当代数式x1x2取最小值时，相应的x的取值范围是 ；

【例2】已知x0，y0，xy1,且x＋ya恒成立，则a的最小值等于 【例3】请计算：（1）、tan150= (2)、sin180=

【例4】如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、连接AC、D作ABBD，EDBD，EC，已知AB5,DE1,BD8,设CDx。

(1)用含x的代数式表示ACCE的长；

(2)请问点C满足什么条件时, ACCE的值最小? 22(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式x4(12x)9的最小值.

◎

变式议练一：

A D B C E

1、若a0，b0，且ab0，则有理数a，b，a，b的大小关系是 ；

2、在平面直角坐标系中，已知A(-1，-2), B(4,2), C(1,m),当m= 时，CA+CB有最小值。

3、若a0,b0,要使xaxbab成立的x的取值范围是_______

1

4、函数yx22x2x24x13的最小值是

★★2、几何问题的代数解法

【例5】将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图

方式排列，则图中阴影部分的面积为 ．

【例6】⊙O是ABC的内切圆，与边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，

AB5,BC6，CA7,则AD ，BE ，CF 。

◎

变式议练二：

1、RtABC的斜边为13，面积为30，则两直角边的和等于 。

2、已知AB是半径为1的⊙O的弦，AB的长是方程：x2x10的一个根，则∠AOB的度数是 。

★★★3 在平面直角坐标系中的广泛运用

【例7】（黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点C(3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB3OA10．

（1）求点A、点B的坐标．

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相y似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B

COA

2x

【例8】已知点A,C都在双曲线：y33(x0)上，点B,D都在x轴上，⊿AOB,⊿BCDx

都是等边三角形，则点D 的坐标是

2

◎

变式议练三：

关于x的方程：x25xa有且只有两个不同实根，则a的取值范围是 ★★★★4 初中数学常见数学模型及其运用

★

基本模型1：

等腰三角形ABC中，P为底边BC上任意一点，PDAB，PEAC，CMAB。

结论：PDPECM

证明思路：（1）面积恒等法

（2）截长补短法

MADBEPC【例9】在ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，一等腰直角三角形按如图所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B。

（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，让后证明你的猜想；

G

F

A

CB

（2）当三角尺沿AC方向平移到如图位置时，一条仍与AC在一条直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E，此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想G并写出DE、DF与CG之间满足的数量关系，让后证明你的猜想；

FA

E

CB

D

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到如图所示的位置（点F在线段AC上，G且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否成立？

A

3 EFBDC

◎

变式练习四：

1、等边三角形边长为4，则该三角形内任意一点到三边的距离之和为 。

2、如图：在矩形ABCD中，已知AB5，AD12，

P是AD边上任意一点，PEBD于E，PFAC

O于F，那么PEPF的值为 ；

★基本模型2：“A”型，“X”型，斜射影模型

AADCEDBDBECABC若：DE//BC 若：DC//AB 若：ACDB

则： ； 则： ； 则： ；

【例10】（重庆）如图：正方形ABCD中，F是CB延长线上的一点，DF交AB于E，交对角线AC于P，如PE2，EF3。求PD的长。

APD

E

FCB

【例11】如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，

DE⊥EB。

（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）若AD=6，AE=62，求BC的长；

◎

变式练习五：

如图，平行四边形ABCD中，BC18cm，P、Q是AC的三等分点，DP延长线交BC于E，EQ延长线交AD于F，则AF ；

★

基本模型3：

DFAQPEBC【例12】已知如图，正方形ABCD与正方形OEFG边长均为2cm。O是正方形ABCD的中心，正方形OEFG绕点O旋转，求两个正方

AD形重叠部分（图中阴影）的面积。

E结论：1、OMON；2、S阴影

4 1S4正方形

NOFBMCG

◎

变式练习六：

1、（变换基本图形中一个）把正方形OEFG换成足够大的矩形，圆心角为90的扇形，直角三角形时，上述结论仍然成立。

E

AAEADDD

NONO

O

NF

ECBCBBMMCM

GF

F

2（德州中考题）如图：已知ABC中，ABAC，BAC90，直角EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：①、AECF；②、APECPF；③、EPF是等腰直角三角形；④、EFAP；⑤、结论中始终正确的是（ ）

EA、①②③ B、②③⑤ FC、①②③⑤ D、①②③④

BCP

★

基本模型4：

【例13】如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC10km，BD30km，且CD30km，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

A

C

◎变式练习七：

1、（黄冈）如图：MN为⊙O的直径，MN2，点A在⊙O上，AMN30，B为A N的中点，P是MN上的一个动点，则PAPB的最小值为（ ）

1，上述S四边形AEPFSABC；当EPF在ABC内绕顶点P旋转时（E不与A、B重合）2ABDA、22 B、2 C、1 D、2

5 ABMOPN

3、如图：E为正方形ABCD的边AB上一点，AE3，

BE1，P为AC上的动点，则PBPE的最小值等于 ；

4、如图：二次函数的图像经过点D（0，7，且顶点C的横坐标为4，该图像在x轴3）9上截得的线段AB6。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PAPD最小，求出点P的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

7 yQDPOAMBNxC