六、正比例和反比例（通用）优质课一等奖

正比例的意义

东台市南沈灶镇小学 丁晓峰

教学内容：苏教版六年级下册第五单元P56-57“正比例的意义”例1、练一练、试一试及相应练习。

教学目标：

1．让学生经历从具体事例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。

2．学生能在认识成正比例的量的过程中，初步体会两个数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。

3．学生能进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识。

教学重点：用两种不同的方法表示正比例关系，理解正比例的意义。

教学难点：能准确判断成正比例的量。

教学过程：

一、课前交流，引入新课

师：同学们，你能说出下列每组数量间的关系吗？

（1）速度、时间、路程（2）单价、数量

、总价（3）工作效率、工作时间、工作总量

师：上面是已经学过的一些常见的数量关系，每组数量中都存在着相依关系，当其中一个量变化，另一个量也随着变化，而且这种变化是有规律的。今天这节课我们就一起去研究和认识这种规律吧。

二、创设情境，提供素材

师：一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：

时间/时

路程/千米

1 80 2 160 3 240 4 320 5 400 6 480 ……

师：汽车1小时行驶80千米，那么2小时行驶多少千米呢？

生1：2小时行驶160千米。

师：3小时呢？4小时呢？……

生2：3小时240千米，4小时320千米，……

师：观察表格，你发现了什么？

生：从左往右看，时间扩大，路程也在扩大。

师：你还能发现什么？

生：从右往左看，时间缩小，路程也随着缩小。

师：像这样路程随着时间变化而变化的两个量，我们把它叫做相关联的量。

三、分析素材，理解概念

1.进一步感知“相关联的量”。

根据学生回答适时板书：

路程

时间

↓

↓

变化

变化

两种相关联的量

2.探究两种量的变化规律，从“变化”中寻找“不变”。

师：我们已经知道路程和时间是两种相关联的量，这两种量的变化有规律吗？到底有什

么规律呢？大家先独立思考，然后小组内交流、汇报。

生1：从左往右看，时间增加1小时，路程增加80千米。从右往左看，时间每减少1小时，路程减少80千米。

师：你真会观察，既进行了顺向观察，又会逆向观察，这是数学上重要的观察方法。

师：为什么时间增加1小时，路程增加80千米？

生：因为汽车行驶的速度不变。

师：你真会思考。

生：路程和时间的比值都是80。

师：请大家写出路程和时间这两个量中对应的数的比并求出比值。

生：80/1＝80，160/2＝80，240/80＝80，……

师：观察比值，你发现了什么？

生：比值相等。

师：这个比值80表示什么？上面的规律能不能用一个式子来表示？

生：这个比值表示速度。

根据学生的回答，教师完成板书：

路程

∶

时间

＝

速度（一定）

↓

↓

变化

变化

两种相关联的量

师：（小结）通过横向观察，我们发现时间变化，路程随着变化，时间和路程是两种相关联的量；通过纵向观察，我们发现“变化”中蕴含着“不变”，也就是路程和对应时间的比值一定。满足了这两个条件，我们就说路程和时间成正比例，路程和时间是成正比例的量。

四、借助素材，总结概念

1.进一步认识“正比例的意义”

师：看看同学们对刚才的知识掌握的怎样，我们继续小试身手。

出示：购买一种铅笔的数量和总价如下表：

数量/支

总价/元

1 0.4 2 0.8 3 1.2 4

5

……

……

师：大家先一起阅读表格，独立思考，然后小组内交流下面问题。

⑴填写上表，说说总价随着那个量的变化而变化的。

总价随着（

）变化而变化的。

⑵写出几组对应的总价和数量的比，求出比值并比较比值的大小。

⑶这个比值的实际意义是什么？你能用数量关系式表示它与总价和数量的关系吗？

⑷铅笔的总价和数量成正比例吗？为什么？

师：静下心来思考和认真倾听别人的回答都是很好的学习方法。把自己的想法和大家交流是最开心的事。哪位同学愿意把你的收获和大家一起分享一下？

学生小组合作完成，根据学生回答教师适时板书：

路程

∶

时间

＝

速度（一定）

↓

↓

↓

变化

变化

两种相关联的量

比值一定

↑

↑

↑

总价

∶

数量

＝

单价（一定）

2.建立模型，抽象概括正比例的意义。

师：同学们，我们通过观察、思考、讨论、交流，发现了路程和时间、总价和数量的变化规律。大家观察上面两个例子，它们有什么共同点？

生1：都有两种相关联的量；一种量变化，另一种也随着变化。

生2：相对应的两个数的比值一定。

生3：两种量都成正比例。

师：两种相关联的量的比值一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。

师：如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系就可以用怎样的式子来表示呢？

生：y/x＝k（一定）

师板书：y/x＝k（一定）

师：这是正比例的符号表示方法。现在请同学们认真阅读课本第56-57页有关正比例的文字描述，

3.回顾小结：

师：我们用“文字”和“符号”这两种方法对正比例的意义进行了描述，正比例还可以用“图像”表示。“图像”表示法我们下节课继续研究。

五、巩固拓展，应用概念

1.师：生活中还有很多成正比例的量，下面我们来继续研究。

出示：

一台碾米机的工作情况如下表：

工作时间/时

碾米数量/吨

1 0.6 2 1.2 3 1.8 4 2.4 5 3 ...

...

（1）写出几组对应的碾米数量和时间的比，并比较比值的大小。

（2）这个比值表示什么？

（3）碾米机的工作数量和工作时间成正比例吗？为什么？

生1：碾米数量和工作时间是两种相关联的量，碾米的数量和工作时间比值一定，所以碾米数量和工作时间成正比例。

师：两种相关联的量想要成正比例，必须比值一定。

2.师：下面我们再来看一下张师傅生产零件中的正比例。

张师傅生产零件的情况如下表：

出示：

时间/时

1 2 4 6 8 200 ...

...

生产零件数25 50 100 150 量/个

（1）张师傅生产零件数量和时间成正比例吗？为什么？

师：判断两种量是否成正比例，关键要看什么？

生1：两种相关联的量的比值是否一定。

2.师：下面再来看一台碾米机的工作情况。

出示：

一台碾米机的工作情况如下表：

工作时间/时

碾米数量/吨

1 0.6 2 1.2 3 1.8 4 2.4 5 3 ...

...

师：碾米数量和工作时间成正比例吗？说说理由。

生1：碾米数量和工作时间是两种相关联的量，碾米的数量和工作时间比值一定，所以碾米数量和工作时间成正比例。

师：两种相关联的量想要成正比例，必须比值一定。

3.师：刚才大家都是通过表格中的数据，发现了两种量的变化规律，并作出两种量是否成正比例的判断。其实平面图形中也有成正比例的量，下面我们一起来看看

正方形的边长/厘米

1 2 3 4 正方形的周长/厘米

正方形的面积/平方厘米

（1）正方形的周长和边长成正比例吗？

（2）正方形的面积和边长成正比例吗？

4.

辨一辨

（1）圆的周长和它的直径成正比例（）

（2）汽车行驶的路程和时间成正比例（）

（3）长方的长一定，长方形的面积和宽成正比例。（）

六、全课总结，布置作业

1.全课总结。

师：这节课大家都能积极动脑、合作探究，解决了一些数学问题。在解决这些数学问题的过程中你有什么收获呢？能与大家分享一下吗？

引导学生全面回顾本节课的内容。可以从以下几方面引导学生回顾：

①

什么是两种相关联的量?

②

两种相关联的量的变化规律。

③

正比例的意义的表示方法。

④

从“变化”中找“不变”的分析方法。

……

师：看来大家的收获还真不少，老师最大的心愿就是：希望同学们的努力与收获也能成正比例。

板书设计：

正比例的意义

路程

∶

时间

＝

速度（一定）

↓

↓

↓

变化

变化

两种相关联的量

比值一定

↑

↑

↑

总价

∶

数量

＝

单价（一定）

y/x＝k（一定）