平方根教案板书设计

2 平方根

1．平方根

(1)平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).32＝9，所以3是9的平方根．(－3)2＝9，所以－3也是9的平方根，所以9的平方根是3和－3. (2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“±a”，读作“正、负根号a”．“

”读作“根号”，“a”是被开方数．例如：2的平方根可表示为±2. (3)平方根的性质：若x2＝a，则有(－x)2＝a，即－x也是a的平方根，因此正数a的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．

我明白了，一个数a的平方根可以表示成±a. 你可要小心哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a只有当a≥0时才有意义,因为负数没有平方根.

【例1－1】

求下列各数的平方根：

15(1)81；(2)(－7)2；(3)1. 49分析：根据平方根的定义，求一个数a的平方根可转化为求一个数的平方等于a的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a的数．

解：(1)∵(±9)2＝81，

∴81的平方根是±9，即±81＝±9. (2)∵(－7)2＝72＝49，

∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. 8156464±2＝，

(3)∵1＝，又7494949158∴1的平方根是±，

497158即±1＝±. 497【例1－2】

下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．

9(1)；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 4分析：

序号

存在情况

原因

(1)

有2个

正数有两个平方根

(4)

有2个

(3)

无

负数没有平方根

(5)

无

(2)

有1个

0的平方根是它本身

99解：(1)∵是正数，∴有两个平方根．

443993±2＝，∴的平方根是±. 又∵2442(2)0只有一个平方根，是它本身．

(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．

]

(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，

∴|－0.81|的平方根是±0.9. 2(5)∵－2＝－4，是负数，

∴－22没有平方根．

2.算术平方根

(1)算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根．

(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”．

(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，当然也没有算术平方根．

淡重点

算术平方根的性质

(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；

(2)一个正数a的正的平方根就是它的算术平方根．如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根．

【例2】

求下列各数的算术平方根：

121(1)0.09；(2). 169分析：根据算术平方根的意义，求一个非负数a的算术平方根，首先要找出平方等于a的数，写出平方式；从平方式中确定a的算术平方根的值．

解：(1)∵0.32＝0.09，

∴0.09的算术平方根是0.3，

即0.09＝0.3；

112121(2)∵13＝169，

12111∴的算术平方根是. 16913析规律

如何确定一个数的算术平方根

求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应特别注意数的符号．

3．开平方

求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．

(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻找一个数的平方根，也可以利用平方验算所求平方根是否正确．

(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才可以，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．

(3)对于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一般可用开平方加以解决．

【例3】

小明家计划用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？

解：设正方形的地板砖的边长为x m，由题意，得80x2＝20，则x2＝0.25.故x＝±0.5. ∵地板砖的边长不能为负数，∴x＝0.5. ∴小明家应购买边长为0.5 m的地板砖．

4.a2与(a)2的关系

a表示a的算术平方根，依据算术平方根的定义，(a)2＝a(a≥0).a2表示a2的算术平方根，依据算术平方根的定义，若a≥0，则a2的算术平方根为a；若a＜0，则a2的算术平a，a≥0，2方根为－a，即a＝|a|＝

－a，a<0.

(1)区别：①意义不同：(a)2表示非负数a的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的a为任意数．③运算顺序不同：(a)2是先求a的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求a的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a)2中，幂指数2在根号的外面；而a，a≥0，在a2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a)2＝a；a2＝|a|＝

－a，a<0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a)2≥0，a2≥0.③仅当a≥0时，有(a)2＝a2. 点技巧

巧用(a)2＝a

将(a)2＝a反过来就是a＝(a)2，利用此式可使某些运算更为简便．

【例4】

化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7. 答案：6

7

5．平方根与算术平方根的关系

(1)区别：

①概念不同

平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根．

2算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

②表示方法不同

平方根：正数a的平方根用符号±a表示．

算术平方根：正数a的算术平方根用符号a表示，正数a的负的平方根－a可以看成是正数a的算术平方根的相反数．

③读法不同

a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．

④结果和个数不同

一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．

(2)联系：

①平方根中包含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a，就可以直接写出这个正数的平方根±a了．

②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．

③0的平方根和算术平方根都是0.

【例5－1】

(1)求(－3)的平方根；

(2)计算144；

(3)求(π－3.142)2的算术平方根；

(4)求16的平方根．

(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；

错解

(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；

2

剖析

(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕

(4)16的平方根是±4. (1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；

(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；

(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；

(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中. (1)±(－3)2＝±9＝±3；

(2)144＝12；

正解

(3)(π－3.142)2＝－(π－3.142)＝3.142－π；

(4)16＝4，它的平方根是±2. 【例5－2】

求下列各式的值：

9(1)±81；(2)－16；(3)；(4)(－4)2. 25分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，99故其结果是负数；表示的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术2525平方根，故其结果必为正数．

解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4. 32993(3)∵＝，∴＝. 525255(4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点

与平方根相关的三种符号

弄清与平方根有关的三种符号±a，a，－a的意义是解决这类问题的关键．±a表示非负数a的平方根，a表示非负数a的算术平方根，－a表示非负数a的负平方根．注意a≠±a.在具体解题时，“

”的前面是什么符号，其计算结果就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．

6．巧用算术平方根的两个“非负性”

众所周知，算术平方根a具有双重非负性：

(1)被开方数具有非负性，即a≥0. (2)a本身具有非负性，即a≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．

由于初中阶段学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：

(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔|

|＋(

)2＝0，|

|＋

＝0，(

)2＋

＝0〕，甚至同一道题目中同时出现这三个内容〔|

|＋(

)2＋

＝0〕．

(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．

【例6－1】

若－x2＋y＝6，则x＝__________，y＝__________. 解析：由－x2有意义得x＝0，故y＝6. 答案：0

6

【例6－2】

若|m－1|＋n－5＝0，则m＝__________，n＝__________. 解析：根据题意，得m－1＝0，n－5＝0，所以m＝1，n＝5. 答案：1

5 注：若几个非负数的和为0，则每个数都为0. x2－4＋4－x2【例6－3】

如果y＝＋2 013成立，求x2＋y－3的值．

x＋2分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，

因此，x2－4＝0，即x＝±2；

又x＋2≠0，即x≠－2，

所以x＝2，y＝2 013，于是得解．

解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，

∴x2－4＝0，

即x＝±2. 又∵x＋2≠0，

即x≠－2，

∴x＝2. x2－4＋4－x2将x＝2代入y＝＋2 013，

x＋2可得y＝2 013. ∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014. 点评：解答这类问题时，先确定题目中非负数的类型，然后根据类型“对症下药”．不要误认为x＝±2.