正弦、余弦、正切函数的简单应用教学设计实例

28．1锐角三角函数（第1课时）教学设计

神岗二中

肖冬梅

【教学目标】

1、知识技能：初步了解锐角三角函数的意义，初步理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。

2、数学思考：在体验探求锐角三角函数的定义的过程中，发现对同一锐角而言它的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种对应关系所揭示的数学内涵。

3、解决问题：从实际问题入手研究，经历从发现到解决直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边之间的关系的过程，体会研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法。

4、情感态度：在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求。

学习重点

：锐角正弦的定义

学习难点

：理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。

【教学过程】 活动一、创设情境，导入新课

图片欣赏：意大利比萨斜塔。

问题：数学来源于生活，应用于生活，用数学视觉观察世界，用数学思维思考世界，若用“塔身中心线与垂直中心线所成的角”来描述比萨斜塔的倾斜程度，应该怎么做？

师生活动：多媒体动画展示“垂直中心线”“塔身中心线”“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离”，显示相关数据，并提出问题，激励学生观察、思考。

设计意图：通过动画展示比萨斜塔的背景材料，扫除学生对引言中一些词语理解的障碍，为抽象出直角三角形做铺垫。

追问1：在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象出什么数学问题？

师生活动：结合动画演示，引导学生得出：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”。

追问2：对直角三角形的三边关系，已经研究了什么？还可以研究什么？

设计意图：从实际需要和从数学内部的需要自然引入课题，激发学生的求知欲。

活动二、探究发现，形成概念

问题：

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口

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的高度为35m，那么需要准备多长的水管？

（1）解决问题，初步体验

隐去引例中的背景材料后，直观显示出图中的直角三角形，

追问1：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？

师生活动：学生组织语言与同伴交流。教师及时了解学生语言组织情况，并适时引导。把上述实际问题抽象出数学问题为：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求AB。

设计意图：培养学生用数学语言表达的意识，提高数学表达能力。

追问2：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？

追问3：对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边有怎样的数量关系？可以用一个怎样的式子表示？

设计意图：在学生用“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”解决问题的基础上，引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式—研究锐角和它的对边与斜边之比之间的关系，为下一环节奠定基础。

（2）类比思考，进一步体验

问题：在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还B1是2吗？如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比值，由此你能得出什么结论？

师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，交流展示。

追问：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠AC1A的对边与斜边的比都等于2，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

设计意图：强化学生对“对边与斜边的比”的关注。为获得“角度固定，比值也固定”做进一步铺垫。

活动三、证明猜想，形成概念

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（1）证明猜想

问题：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么BCB'C'与ABA'B'有什么关系．你能解释一下吗？

师生活动：教师引导学生将猜想“在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，•∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。”用数学语言表示并画图，引导学生找到证明猜想的方法，投影显示证明过程。

设计意图：培养学生的推理论证意识，进一步熟悉发现几何结论的基本套路，未引出锐角的正弦概念奠定基础。

（2）形成概念

教师讲解：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A的对边与斜边的比都是一个固定值。这个固定值随锐角A的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称。

如图：在Rt△BC中，∠C=90°，

∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．

A斜边cbCB对边a在Rt△ABC中，∠C=90°，

我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，

A的对边ac

sinA＝A的斜边例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= __________；

当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=__________．

设计意图：让学生在一系列的问题解决中，经历从特殊到一般建立数学概念过程，感受定义的方式：先研究合理性，再下定义。

活动四、理解概念，应用提升

（1）例题示范，理解概念

【例1 】

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．

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教师提问：（1）求sinA实际上要确定什么？依据是什么？求sinB呢？

（2）它们的对边和斜边都已知吗？未知的怎么办呢？

学生思考作答，教师引导学生规范解题步骤。

设计意图：巩固锐角的正弦概念，规范学生的解题格式。

（2）课堂练习，提升能力

【小试牛刀】

1.判断对错: 1) 如图(1) sinA=BCAB（）

(2)sinB= BCAB（）

(3)sinA=0.6m （）

(4)SinB=0.8 （）

2)如图，sinA= BCAB （）

2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（ A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定

3.如图，∠A=30°，则 sinA=______ C

A B 【火眼金睛】

如图, 在△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB.sinB可以由哪两条线段之比?

4 ）

设计意图：进一步巩固锐角的正弦概念，加深对它的理解。

活动五、自我评价，总结反思

请同学们根据以下问题回顾本节课的内容：

什么叫锐角的正弦？

定义锐角正弦的过程、方式是什么？与以前下定义的方式有什么不同？

师生活动：引导学生思考、回答，注意学生语言的组织。

设计意图：引导学生梳理学习内容，提炼学习过程中的数学思想方法。

活动六、作业设置：

1、习题28．1第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）

2、拓展提高：

结合右图，思考∠A的其他两边的比值是不是也是唯一确定的？发挥你的聪明才智,动手试一试．

CBacbA

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