正投影教学实录与评析

第二十九章投影与视图

河南省商丘市谢集一中 成海英 §1.三维目标：

一、知识与技能：

（1）了解正投影，视图、主视图、俯视图、左视图的意义；

（2）会画基本几何体的二视图或三视图；

（3）根据立体图形的三视图推测表面积、体积

（4）联系图形的相似、锐角三角函数等知识进行有关的推算或者证明；

二、方法与过程：

投影与视图与实际生活联系紧密，创设具体的问题情境，联系特殊的几何形体，观察物体在不同方向所看到的平面图形引入三视图的概念，得出三种视图的长宽高之间的关系，渗透转化的思想方法，把复杂的问题变得简单，培养学生分析问题解决问题的能力；联系图形的相似、锐角三角函数的知识解答有关物体、投影之间的计算问题；

三、情感、态度与价值观：

让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验；通过对视图、投影问题的探究，激发学生学习兴趣；对投影与视图与其它知识点的综合问题的探究，体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性；培养学生穿造型思维品格；

§2.知识梳理：

平行投影：_____________________________________平行投影平行投影的性质：_______________________________投影中心投影中心投影：____________________________________中心投影的性质：______________________________

主视图：________________________________________________投影与视图左视图：________________________________________________三视图俯视图：________________________________________________三种视图的长、宽、高之间的关系：________________________视点与盲区课题学习

制造立体模型

§3.题例互动：

本章的重点：立体图形的正投影，三视图；

作出基本几何体的三视图；简单立体图形的表面积、体积的计算；

难点：投影与视图的概念、性质的灵活运用，与其它知识点的综合问题的求解；

题例分析：

（1）立体图形的视图问题：

例题1、（09德州市）如图所示，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图、左视图、俯视图）有两个相同，而另一个不同的几何体是

A、①② ；B、②③

；C、②④

；D、

③④；

分析：结合四种立体图形的视图进行判断即可；

答案：B 评注：由立体图形到视图，注意立体图形的形状，从正面、左侧、上方观察图形，想象可以看到的平面图形，注意底面、侧面的形状以及立体图形的高等因素；

练习：1、 (09衡阳市)如图所示几何体的左视图是（

）

①正方体

②圆柱

例1 图

③圆锥

④球

A

B

C

D 1、D；

2、(09黔东南州)下面简举几何体的主视图是（ ）

学科网正面

图1

学科网 正面 A B C D2、C 3．(09中山市)如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

A．

B．

C．

D． 3．B

学科网

（2）立体图形到视图的综合运用问题：

例2、(09山西省)如图是由几个相同的小正

方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个

几何体的小正方体的个数是（ ）

主视图

A．5 B．6 C．7

左视图

（第2题）

D．8 俯视图

分析：结合三视图，推测小正方体的个数，方法是以俯视图为基础，推测每一部分小正方体的个数进行累加即可；

1 1

解：如图：俯视图每部分的小正方体的个数相加

则有搭成这个几何体的小正方体的个数是6，选择B．

2 1 1

评注：有三视图推测组成立体图形的单元的个数，以俯视图为基础，观察俯视图的组成部分以及每一部分的组成的单元数量，总的数量即是累加的个数的和；

练习：1、（09益阳）一个物体由多个完全相同的小正方体组成，它的三视图如图1所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为 A. 2 ；B. 3；C. 4 ； D. 5 主视图

左视图

俯视图

图1 1、 C；

2、左下图是由若干个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时, 所看到的几何图形是

从上面看

从左面看

C B D A 从正面看

第2题图

2、B 3、一个物体由多个完全相同的小正方体组成，

它的三视图如图所示，推测组成这个物体

主视图

左视图

的小正方体的个数是多少； 3、答案10个；如图所示：

1

1 2 1 3 俯视图

2

（3）视图与立体图形表面积、体积的综合运用

例3、设小正方形的边长是1，则图中立体图形的表面积、体积分别是多少？

分析，从上下前后左右六个方向看到的面积之和

即是表面积；推测正方体的个数即可求出立体图形的体积；

解：从6个方向观察:得出：总的表面积是：

1624（1234）72（面积单位）；

体积是1491630（体积单位）；

评注：显然得出一般的规律：当小正方体是一面积单位时，

按照例题图中摆放若干层小正方体，则有立体图形的表面积是：

3图

2n24（1232n）2n22n(n1)4n22n；

22立体图形的体积是123n21n(n1)(2n1)；

6b 练习：1、两个完全相同的长方体的长、宽、高分

别为3、2、1，把它们叠放在一起组成一个新的

长方体，在这些新长方体中，表面积最小值为 ( )；

c a A．42；B． 38；C．20 ；D．32；

1、D．

提示：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则有：长和宽组成的面的面积最大，这个最大面积是：32，两个相同的长方体的表面积之和是：2(322131)，两个相同的最大的面叠在一起，减少了两个面，所以：在这些新长方体中，表面积最小值为：两个长方体的表面积之和减去两个由长与宽组成的最大的面的面积；

由于长是3，宽是2、高是1，所以由

长与宽组成的面面积是最大的，所以把两个长与宽组成的面叠合，所得到的新的长方体的表面积最小，最小值是：

2(322131)223232；

2、如图所示，设小正方形的边长是1，则图2中立体图形

的表面积、体积分别是多少？

2、54；16；提示：从6个方向观察:得出：

（1234）54（面积单位）总的表面积是：

724；

体积是：135716；

3、如图所示，设小正方形的边长是1，则图3中立体图形

的表面积、体积分别是多少？

3、60； 20；提示：立体图形

的表面积6(1234)60；体积是：1361020；

2图

3图

4、（09孝感市）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每

个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（

）

A．78

B．72 C．54 D．48

（4题图）

4、B ；

（4）投影的综合运用问题：

例4、学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明(AB)的影子BC长是3m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB6m．

（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C11到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程311的到B3处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCnn14的长为 m（直接用n的代数式表示）．

的长；当小明继续走剩下路程的

A1

E

A

C

B

H

B1

分析：结合电光源的影长与物高的原理：物体与影子对应点的连线交于点光源处画图；利用电光源、物体高、影长等联系三角形的相似列出比例式进行计算；

解：（1）如图所示：

G

（2）由题意得：△ABC∽△GHC，

ABBC1.63，，GH4.8（m）．

GHHCGH63E

A1B1B1C1（3）△A，，

BC∽△GHC1111GHHC1设B1C1长为xm，则同理A2

A1

C2A

H

1

C1

B

B2BC

31.6x3，解得：x（m），即B1C1（m）．

24.8x323B2C21.6，解得B2C21（m），BnCn．

n14.8B2C22

评注：点光源是中心投影、影长随着距离光源的远近不同而改变，物体在平行光线下，物体高与影长的比值相等，投影与三角形的相似、锐角三角函数等联系起来，结合投影、相似锐角三角函数的有关知识，列出比例式进行解答；

练习：

1、(09兰州市) 如图所示，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（ ）

A．24m

B．25m

C．28m

D．30m

1、D

2、如图，某居民小区内A，B两楼之间的距离MN30米，两楼的高都是20米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南．B楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN2米，窗户高CD1.8米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A楼的影子是否影响B楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．

（参考数据：21.414，31.732，52.236）

A楼

B楼

Ｃ

D M

N

2、解：如图，设光线FE影响到B楼的E处，

作EG⊥FM于G，由题知，

F A 楼

G 30m B 楼

Ｃ

Ｅ

D N EGMN30m，FEG30，

310317.32，

则FG30tan3030330

M

则MGFMGF2017.322.68，

因为DN2，CD1.8，所以ED2.6820.68，

即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．

3、如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小

P

明从距路灯的底部（O点

）20米的A点，沿OA所

在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还

O

B

N

第3题图

A

M

是变短了？变长或变短了多少米？

3．解：MACMOP90，

AMCOMP，

△MAC∽△MOP．

······ 2分

MAAC，

MOOPMA1.6即．

20MA8解得MA5． 同样由△NBD∽△NOP可求得NB1.5． 所以，小明的身影变短了3.5米．

8分

P

D

O

B

N

第3题图

A

C

M

第二十九章投影与视图练习题：

一选择题：

1、如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（

）

A B C D

( 1) ( 2)

(第1题)

2、一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）；

3、如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（ ）

正面

A．

B．

C．

D．

4、下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是（

）

Ａ．圆柱

Ｂ．正方体 Ｃ．三棱柱 Ｄ．圆锥

主视图侧视图俯视图

5、下列三视图所对应的直观图是（ ）；

A． B． C． D．

6、桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）

左面

（第6题）

A．

B．

Ｃ．

Ｄ．

7、如图所示，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走

到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）

Ａ．逐渐变短

Ｂ．逐渐变长

Ｃ．先变短后变长

Ｄ．先变长后变短

A

B

7图

8、一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（

）

．．Ａ．12个

Ｂ．13个

Ｃ．14个

Ｄ．18个

主视图

左视图

二、填空题：

9、星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm，在阳光下他的影长为80cm，爸爸身高180cm，则此时爸爸的影长为＿＿＿＿cm.；

10、小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.

11、如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2的竹竿做测量工具。移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为__________m；

8m

22m

12、（2007浙江宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为

___________________；

三、解答题：

13、在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教

学楼的高度。在阳光下，测得身高1.65米的黄丽

同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教

学楼DE的影长DF为12.1米。

（1）请你在图7中画出此时教学楼DE在阳光下

的投影DF。

（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE

的高度（精确到0.1米）。

14、如图所示，点P表示广场上的一盏照明灯．

（1）请你在图中画出小敏在照明灯P照射下的影子（用线段表示）；

（2）若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为55°，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1

米）．

（参考数据：tan55°1.428，sin55°0.819，cos55°0.574）

P

M

55°Ｑ

Ｏ

Ｂ

A 4.5米

小丽

小敏

灯柱

参考答案

一、选择题：

1、D；2、C；3、A；4、B；5、C；6、C；7、Ｃ；8、B；

二、填空题：

9、90； 10、

6.4； 11、12； 12、24m ；

三、解答题：

解：（1）如左图，注意AC与EF平行；

（2）由

1.65DE，解得：DE＝18.15≈18.2 1.112.1

14、解：（1）如图线段AC是小敏的影子，

（画图正确）

（2）过点Q作QE⊥MO于E，

过点P作PF⊥AB于F，交EQ于点D，

则PF⊥EQ

在Rt△PDQ中，PQD55，

M

P

DQEQED

55

Q

E

D

4.5米

C

A

小敏

O

灯柱

图11 B

小丽

4.51.53（米

tan55PD DQ PD3tan554.3（米）

DFQB1.6米；

PFPDDF4.31.65.9（米）

答：照明灯到地面的距离为5.9米；

真题演练：

一、选择题：

1、(09兰州市)如图1所示的几何体的俯视图是

A. B．

a a a C D．

图1

2、（09济南市）图中几何体的主视图是（ ）

正面

A．

B．

D．

C．

（第2题图）

3、（09鄂州市）在一个晴朗的上午，皮皮拿着一块正方形术板在阳光下做投影实验，正方形木板在地面上形成的投影不可能是（ ）

4、

（09成都市）

如图所示的是某几何体的三视图，则该几何体的形状是（ ）

俯视图

主视图左视图

A、长方体

；B、三棱柱；C、圆锥

；D、正方体；

5、(09江西省)如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）

主视图

俯视图

A．2个或3个

B．3个或4个

（第5题）

C．4个或5个

D．5个或6个

6、（09鄂州市）如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）

7、（09牡丹江市）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的左视图是（ ）

1 2

2 3

1

A.

B.

C.

D.

7题图

8、（09丽水市）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图， 则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ）

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

(第8题)

9、(09年烟台市)一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，

4 则其主视图的面积为（ ）

3 A．6

B．8

C．12

D．24 2

左视图

俯视图

（第9题图）

10、（09济宁市）

一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是（ ）；

主视图

俯视图

A. 4π B.6π C. 8π D. 12π

二、填空题：

3

3

2

13、（09嘉兴市）一个几何体的三视图如图所示（其中标注的a，b，c为相应的边长），则ab这个几何体的体积是

▲

．

c

b

15、 (09广州市)如图所示是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成

参考答案

一、选择题：

1、C；2、B ；3、A；4、B；5、C；6、B； 7、B；8、C；9、B；10、B； 二、填空题：

13、abc

； 15、4；

俯视图

主视图

左视图

（第13题）

O O