数学活动教学设计和教学实录

“反比例函数”复习课

1、誓词引领、创设情境

我是今天的值日生李阳，现在由我领读数学学习誓言：勤于思考、善于质疑、主动发言、举一反三、循序渐进、永不言弃

师：函数是初中数学中最重要的数学模型，反比例函数是学习了一次函数之后的又一函数模型。经过学习，我们深刻的体会到，函数与我们的实际生活联系紧密，那么你在生活中发现了那些与反比例函数有关的问题？请大家举出来。（学生踊跃的抢着发言）

师鼓励道：生4同学为了让大家进一步加深理解反比例函数的定义，“牺牲”了自己，故意举了一个反例，非常好，那么两个函数到底有哪些区别和联系呢？希望大家在学习中一定要深刻理解一次函数和反比例函数的意义。

师：这节课我们就一起再一次走进反比例函数的世界，本节课的学习目标是（展示学习目标。），请大家自己大声读一遍。

2、预习交流、明确目标

师：为了完成本节课的学习目标，下面先以小组为单位，讨论交流本章的知识重点以及一次函数和反比例函数的联系与区别，以及在复习中的想法。

（各小组进行激烈的讨论交流，有的小组成员轮流讲解，有的是对桌两人互问互答，还有的小组长或对桌出题，相互检测。5分钟后，各组代表争相展示本组的交流成果。）

一组代表生6（三个组同时抢）：经过我们组的研究发现，本章的主要知识点是反比例函数的图像与性质和反比例函数的应用。

四组代表生7（五个组站起来）：一次函数与反比例函数相同点是，当k > 0时，两个函数的图像分别在第一象限和第三象限，当k < 0时，两个函数的图像分别在第二象限和第四象限。

师强调：当k > 0时，一次函数的图像经过第一和第三象限，反比例函数的图像应该是两个分支分别在第一象限和第三象限，当k < 0时，一次函数的图像经过第二和第四象限，反比例函数图像的两个分支分别在第二象限和第四象限，望同学们注意区别。

师：哪位同学能画图讲解正比例函数和一次函数的

图像与性质呢？

“小老师”生8：如右图，正比例函数y = kx( k ≠ 0)，当k > 0时图像经过一三象限，y随x的增大而增大；当b >0时正比例函数y = kx

往上平移b个单位，得到一次函数y = kx + b的图像，直线与y轴相较于点（0，b），当b<0时，函数y = kx

往下平移b个单位，得到一次函数y = kx+b的图像，直线与y轴相交于点（0，b）；当k < 0时图像经过二四象限，y随x的增大而减小。

师：讲的非常好，哪位同学给大家画图讲解反比例函数的图像与性质？

“小老师”生9边画图（右图）边提问：反比例函数yk(k0)，当k > 0 或k < 0时图像在哪个象限？

x生10主动回答：当k

> 0时图像的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内y随着x的增大而减小，当k < 0时图像的两个分支分别在二、四象限，y随x的增大而增大。

“小老师”再进一步提问：如果在图像y2上有一点A，向x轴和y轴分x别作垂线，则点A、原点、x轴和y轴所形成的矩形的面积是多少？

生11：面积是一个定值k=2 。

师：（补充增减性的题）

6y已知点

A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数

的图象上，则xy1，y2，y3的大小关系是

.

ky变式：已知点

A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数

(k<0) 的图x象上，则

y1 与

y2 的大小关系

(从大到小) 为

. 师：同学们利用类比和数形结合的方法对反比例函数的知识点进行了复习，分析讨论的非常到位，望同学们在下面的函数应用复习中取得成功。

3、反串互动、展示提升

师展示四个探究题，并分工：第四大组重点研究探究一，第三大组重点研究探究二，以此类推。

（学生开始自主探究，2分钟后）

师：各小组探究交流，总结思路，排疑解难，确保每个学生能讲、能做、

能提出问题、能解决问题和能拓展。

3分钟后，各小组的2号（师抽号决定）代表本组开始展示学习成果。

探究一：考察反比例函数的意义。若

y





a



1



x

a

2

是反比例函数，则a=

. 一组代表生2号：本章第一节课我们学了反比例函数的定义，根据yky



1(k0)可知a2 - 2 = -1解此方程得a= ±1，所以当a= ±1时，

a

x

a



2

是x22反比例函数. 二组代表生12：不对，当a = -1时，a+1= 0，所以a = -1应舍去，因此只取a = 1。

师：补充的非常好，在做题时一定要思考全面，做题要仔细。

探究二：求反比例函数的关系式。

小红和小强两位同学在描述反比例函数的图像，小红说，这个反比例函数图像上任意一点到两个坐标轴的距离的积是3；小强说，这个反比例函数的图像在某一象限内，y随x增大而增大，请你根据他们的描述确定这个反比例函数的关系式：

。

四组代表生2号当“小老师”提问：从小红的描述大家可发现什么？

生13：从“这个反比例函数图像上任意一点到两个坐标轴的距离的积是3”这句话可以发现，反比例函数的面积是一个定值k

，因此可得k=3，即k = ±3。

“小老师”：很好，从面积是3，可得k = ±3，又因小强说，“这个反比例函数的图像在某一象限内，y随x增大而增大”，根据函数的增减性，当k < 0时图像的两个分支分别在二、四象限，y随x的增大而增大，可知k = -3。

生14：我有个问题，如果是三角形呢？

y变式一：如图①，k(k0)的图像在第一象限交于点A，x1xy=2，所以xy = 4，2AB⊥x轴于点B，如果△OAB的面积为2，则k =

. “小老师”：

设点A（x，y）因为△OAB的面积是s又因图像在第一象限，因此k = 4。

（一石激起千层浪，生14的新思路极大的激发了同学们的探究欲望。）

我也有个变式，生15自豪的说：

变式二：如图②，如果在图像y2上有一点A和A的对称x点D，分别向x轴和y轴作垂线，则△OAB和△ODC的面积和多少？

生16：根据上题的做法△OAB的面积是1，△ODC是△OAB对称图形因此面积也是1，所以和是2。

生17不甘落后：我也会变式。

变式三，如图③，如果在图像y2上有一点A和A的对称x点C，分别向x轴和y轴作垂线，两垂线相较于点B，则△ABC的面积是多少？

生18：由上题可得两个三角形的面积和是2，小正方形的面积正好是三角形的两倍也是2，所以S△ABC = 4 师：同学们，你们太棒了，人人就像是一个魔术师，我也来变一个魔术。（老师俨然像个争强好胜的学生）

2变式四，如图④在反比例函数y(x0)的图像x上，有点P1，P2，P3，P4，它的横坐标依次是1，2，3，4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=

. （这下可难住了学生，我洋洋得意地观察着学生焦急的眼神。）

突然，一个声音打破了瞬间的寂静。

生19：我知道怎么做了，我们刚才做的题大多是函数上的一个点形成的图形面积，对于这个题应该把点P1，P2，P3，P4形成的S1，S2，S3，分开看，然后把S2和S3沿水平向y轴分别平移一个和二个单位长度，正好与S1下方的两个矩形重合。P4的坐标是（4，0.5）因此S1+S2+S3=2-1×0.5=1.5 师：讲的真棒。（全班想起了热烈的掌声）

探究三：一次函数与反比例函数综合题

如图⑤，反比例函数y3)，B(n，-1)两点。

（1）

求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）

根据图像回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值? 七三组代表生2号：因为A(1，3)在y所以y-1)。

求出A、B的坐标后怎样求一次函数呢？

生20：因A和B都在一次函数函数上，所以将A、B的坐标带入y = mx + b解得

m = 1，b = 2，因此y = x + 2。另外，由图像可知，当x > 1或x < -3时反比例函数的值大于一次函数的值。

4、达标测试、反馈创新

师：刚才，我们研究了本章的主要知识内容，反比例函数的图像与性质以及广泛的应用。下面各组做练习，奇数组做1、3、5题，偶数组做2、4、6题，先以小组为单位，利用4分钟的时间互帮互学，确保人人达标，然后老师抽号测试。

（小组研讨交流，4分钟后）

师：各小组成员到黑板检测，4号同学做本组第一题，3号做本组的第二题，1号同学做本组第三题。

（3分钟后，单双号互相批阅，各小组集体点评，然后各小组展示本组的测试情况。）

一组展示：我们组经过大家的交流发现第3题做错的很多，主要是原因马虎造成的。

六组补充：我们组第4题绝对值不等式出现的问题较多，……。

（师生研讨出现的问题）

五、反思小节、课后再探

k上，所以将A点坐标代带入得k = 3，xk(k0)的图像与一次函数y = mx+b的图像交于A(1，x33。又因为B(n，-1)也在y上，所以将B(n，-1)代入得n = -3，因此B(-3，xx

师：通过本节课的研究学习，你获得哪些成果，说出来与大家分享，请自由发言。

生21（有4个学生同时站起来）：本节课我们复习了反比例函数的图像与性质及应用。

生22：（有6个学生同时站起来）：通过本节课的学习，我们不但复习了数学知识，而且还提高了一题多变、一题多解以及战胜困难的能力。

生23：……

（抢着发言声此起彼伏，络绎不绝。）

六、布置作业，拓展延伸

如图,Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上,斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴的负半轴于点E,双曲线y=kx(x>0)经过点A,若△BEC的面积为5,则k的值为()

作业：点击中考63页限时集训1——12题。

“谁还不会”“谁还有问题”等，而听讲的学生也主动问“小老师”，呈现出“你说的不对”，“我还有哪个地方不懂”，“我还有另外一种方法”。

如

“你们很成功！”、“你考虑得很周密！”

“你的想法真有创见！”、“佩服，老师竟没想到！”等，当学生遇到困难时，教师及时激励“你肯定能行，再动动脑筋！”