加减法解二元一次方程组国家获奖教案

一元二次方程教学设计

教学任务分析

1、

理解一元二次方程的概念.

知识技能

2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题

及解决问题的能力.

教学思考

2、

通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.

在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工解决问题

具，增加对一元二次方程的感性认识.

1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.

情感态度

2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

教

学

目

标

重点

一元二次方程的概念及一般形式.

1、由实际问题向数学问题的转化过程.

难点

2、正确识别一般式中的“项”及“系数”.

教学流程安排

活动流程图

活动1 创设情境

引入新课

活动2 启发探究

获得新知

活动3 运用新知

体验成功

活动4 归纳小结

拓展提高

活动5 布置作业

分层落实

活动内容和目的

复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。

通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。

巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。

回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。

分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。

教学过程设计

问题与情景

「活动1」

问题1：

2008年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。

某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。

(1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合格, 请列出满足条件的方程:

(2)若两轮培训后该校共有121人合格，你能列出满足条件的方程吗？

问题2:

有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒底

通过多媒体播放视频短片,引入情境,提出问题.在第(1)问中,通过教师引导,学生列出方程,解决问题.

在第(2)问中,遵循刚才解决问题的思路,由学生思考,列出方程.

活动中教师应重点关注:

学生对题目的理解,可举例,由特殊到一般,帮助学生理解题意,从而引导师生行为

通过创设情境,引导学生复习一元一次方程的概念和一般形式,为后面学习一元二次方程的有关内容做好铺垫.

通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.

设计意图

面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

问题3:

我校为丰富校园文化氛围，要设计一座2米高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与全部高度的乘积，等于下部（腰以下）高度的平方，求雕像下部的高度 .

2学会列出满足条件的方程

通过多媒体演示,把文字转化为图形,帮助学生理解题意,从而由学生独立思考,列出满足条件的方程.

此题是与实际问题结合的题目，通过演示高度关系，帮助学生理解题意，从而列出符合题意的方程。

师生行为

通过解决实际问题引入一元二次方程的概念.

让学生通过数形结合的方法,转化实际问题,从而得到方程,为引入一元二次方程的概念做好准备.

设计意图

让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.

这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解.

问题与情景

「活动2」

1、一元二次方程的概念：

由以上问题得等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且到3个方程,

未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

由学生观察归

纳这3个方程的

特征,给出名称

并类比一元一

次方程的定义,

得出一元二次

方程的定义.

活动中教

师应重点关注:

眼疾口快:

(1)

引导学请抢答下列各式是否为一元二次方程：

生观察所列

出的3个方程的特点;

2、 2、一元二次方程的一般式：

3、

(2)

让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义.

(3)

强调定义中体现的3个特征:

①整式;②一元;③2次.

由学生以抢答的形式来完成此题,并让学生找出错误理由.

其中(1)~(6)题较为简单,学生可非常容易给出答案;而(7),(8)两题有一定难度,(7)需要进行分类讨论.

此活动中,教师应注意对学生给出的答案作出点评和归纳.

引导学生类比一元一次

(7),(8)两个题目的设置,目的在于进一步加深学生对定义的掌握,尤其结合字母系数,加大题目难度,提高学生对变式的理解能力.

此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.

此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.

方程的一般形式，总结归纳一元二次方程的一般形式及项、系数的概念.

问题与情境

行为

试一试:

下面给出了某个方程的几个特点：

（1）它的一般形式为

师生图

先由教师在大屏幕上显示问题,由学生经过思考,给出符合条件的答案,全体学生进行判断是否正确.

在此环节可设置一个小游戏,让答对学生给出类似条件,找其他同学回答给出的新问题,让大家进行判断给出的方程是否正确.

此环节中,教师应注意板书学生给出的方程要,并且及时引导学生不要给出类似的条件.

此题为与实际问题结合的题目,让学生思考解决问题的方法,列出满足题意的方程.

设计意此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解

采取游戏的形式以提高学生对数学学习的兴趣,参与课堂活动的积极性,还可鼓励学生课下继续以合作的形式进行学习.

整理一元二次方程的一般形式为本节课的重点,由实际问题出发列方程为本节的难点,所以在此设置此题,加强巩固练习.

由篮球比赛引入题目,可激发学生兴趣,引起学生关注.

（2）它的二次项系数为5；

（3）常数项是一次项系数的倒数的相反数。

「活动3」

例1.天津四中为树立学生的团结、拼搏精神，组织了一次篮球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？(列方程并整理成一般形式）

以此题为例,教师板书整理一元二次方程的过程,让学生学会如何整理任意一元二次方程的一般形式,并能准确找到各项系数.

教师在此活动中应重点关注:

(1)由一个学生列出方程,并解释解题方法,教师进行引导,点评,引起

其他学生的关注,认同.

(2)教师在归纳点评过程中,应注意把两队只打一场比赛解释清楚,以便学生理解题意.

(3)整理一般形式后,教师应强调整理过程中应用到的等式变形方法,如去括号,移项,合并同类项,去分母等.

(4)让学生指出各项系数时,教师强调系数须带符合.

此题有在实际生活中应用的意义,通过此题让学生理解比赛赛制安排原则.

问题与情境

小试牛刀:

你能否把下列方程整理成一般形式?

师生行为

设计意图

让学生落实将刚才教师板书的整理一般形式的过程,再次突出本节课的重点内容

此题为一元二次方程概念中常见题型，通过此题让学生加深对定义和一般形式的理解，为其他字母系数问题做好准备。

此题仍涉及字母系数问题,难度加大,以达到让学生掌握本节课重难点的目的.

通过此题让学生掌握解此类字母系数题目的方法,以及整理一般形式对于解一元二次方程题目的重要性

小结反思巩固练习学生整理一般形式的方法,并

准确找出各项系数.此环节可找学生口答结

果.

此题是字

母系数问题,由

学生思考解题例2、当m取何值时，方程

过程,让学生讲解此题,教师进

行总结点评.大

屏幕显示解题是关于x的一元二次方程？

过程.

此题由学考考你:

生思考,讨论,判断下列关于x的方程是否是一元二次方程：

并由学生给出结果并进行解

释.

此活动过程中,教师应重( 为有理数);

点关注:

(1)此题目

在上一题的基

础上继续加大

难度,第(1)题

须强调先进行

整理,再考虑二

次项系数是否

为零;第(2)题

须先求出m值,「活动4」

再代入二次项1．问题：

系数中,验证是本节课你又学会了哪些新知识？

否为0,得到结

果.

(2)学生解

答过程中,教师

把学生整理的一般形式书写2．思维拓展：

在黑板上,以便若方程x2m+n

+xm-n

+3=0是关于x的一元二次方程，全体学生理解.

求m,n的值。

学生反思本节课中学到的知识，总结活动中的经验。

小结时，教师应重点关注：

（1）学生是否能抓住本节课的重点；

（2）学生是否掌握一些基本方法。

此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。

让学生再思考，若题目

中“+”变成

“-”时，如何「活动5」

解决，留作课下

思考。

课后作业：

（A）组题目为(A)教科书第98页习题17.1第1、2、5、6、7题.

巩固型作业，即

必做题。

(B)请根据所给方程：

（B）组题目为（16-2x）(10-2x)=112，

思维拓展型作

业，即为学有余中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

此题需进行分类讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。

分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。

联系实际，编写一道应用题

（

要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）。

力的学生设置。

本节课是一元二次方程的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念，并学会利用方程解决实际问题。在教学过程中，注重中难点的体现。

在本节课的活动1中，通过实际问题引入学生熟悉的一元一次方程，让学生掌握利用方程解决问题，从而顺利过渡到后面的问题。活动2中让学生观察活动1中得到的3个方程，并通过类比一元一次方程的定义和一般形式，从而获得本课的新知识。活动3意在强化学生所学知识，并运用到实际问题中去。

教学过程中，应随时注意学生们出现的问题，及时进行反馈，使学生熟练掌握所学知识。

23.2 .5一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程(3x1)x6x9

让学生尝试用多种方法解方程，归结为：

22(3x1)(x3)解法1：将方程化为，直接开平方，得3x1(x3)

22

解得x12，x212。

2解法2：将方程化为一般形式2x3x20，进而转化为x23x102，用配方法可求方程的解。

2解法3：将方程化为一般形式2x3x20，用公式法求解，其中b24ac(3)242(2)25。

22(3x1)x6x9更简便？

提问：用哪种方法解方程3、现在，你能解决§22.1的问题1了吗？

二、解决问题

2请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§22.1的问题1，首先要解方程x10x9000，同学伞能解这个方程吗？

让学生动手解题并口答结果：提问：

1、所求2、所求x15537,x25537

x1、x2都是所列方程的解吗？

x1、x2都符合题意吗？

让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：

x2553725.4

x1035.4

3.1和2说明了什么问题？

让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。

作为应用题，还应作答。

三、例题

例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于

厘米，宽等于

厘米，S底面=

。

请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

由学生回答解题过程，教师板书：

解

设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

(60－2x) (40－2x) ＝800 解方程得

x110，x240，

经检验，x240不符合题意，应舍去，符合题意的解是x110

答：截去正方形的边长为10厘米。

四、课堂练习

Ｐ36 练习1、2 小结：

让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。

作业：

Ｐ38

习题5、6、7

用函数的观点看一元二次方程

教学目标： 1．复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解。

2．让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。

3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点难点：

重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。

难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。

教学过程：

一、复习巩固

1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?

2．完成以下两道题：

(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1)

(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。

教学要点

1．学生练习的同时，教师巡视指导，

2．教师根据学生情况进行讲评。

解：略

1

函数y＝2x2－3x－2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－21和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－2和x2＝2。

二、探索问题

问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方1程x＝2x十3的解时，几乎所有学生都是将211方程化为x2－2x－3＝0，画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将1方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝2x＋2的图象，如图(3)3所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解．

2 提问： 1. 这两种解法的结果一样吗? 2．小刘解法的理由是什么? 让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。

3．函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? 4，函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗? 5．如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样?

三、做一做

利用图26．3．4(见P24页)，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。

(1)x2＋x－1＝0(精确到0.1)；

(2)2x2－3x－2＝0。

教学要点：①要把(1)的方程转化为x2＝－x＋1，画函数y＝x2和y＝－x＋1的图象；

332

②要把(2)的方程转化为x＝x＋1，画函数y＝x和y＝x＋1的222图象；③在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。

四、综合运用

已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。

(1)求这两个函数的关系式；

(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。

解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1

所以y1＝x＋1，P(3，4)。

因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有

4＝18－24＋k＋8

解得

k＝2

所以y1＝2x2－8x＋10 y＝x＋1x1＝3

(2)依题意，得

解这个方程组，得

，2y＝2x－8x＋10y1＝4x2＝1.5

y2＝2.5

所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。

五、小结：

1．如何用画函数图象的方法求方程韵解? y＝x2

2．你能根据方程组：的解的情况，来判定y＝bx＋c函数y＝x2与y＝bx＋c图象交点个数吗?请说说你的看法。

六、作业： 1. 利用函数的图象求下列方程的解：(1)x2＋x－6＝0； (2)2x2－3x－5＝0 2y＝x2．利用函数的图象求下列方程的解。(1)、

(2)、y＝1x＋3，2y＝x2＋x

y＝5x－4 3．填空。

(1)抛物线y＝x2－x－2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。

(2)抛物线y＝2x2－5x＋3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。

4．已知抛物线y1＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的交点的纵坐标为3。

(1)求抛物线的关系式；

(2)求抛物线y＝x2＋x－k与直线y＝－2x＋1的另一个交点坐标．

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x－2相交于(m，－2)，

(n，3)两点，且抛物线的对称轴为直线x＝3，求函数的关系式。

23.2.3一元二次方程的解法

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会

“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

2(xp)q

把一元二次方程转化为教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

（1）32x21

（2）x1260

（3）

x2210

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

x2bb0和xabb02

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。

如x122

请说出完全平方公式。

xax22axa22xax22axa2

。

二、引入新课

22xxA0我们知道，形如的方程，可变形为A(A0)，再2根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如x2bxc0的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

1、例1、解下列方程：

x2＋2x＝5；

（2）x－4x＋3＝0. 2思

考

能否经过适当变形，将它们转化为

解？

解（1）原方程化为x＋2x＋1＝6，

（方程两边同时加上1）

_____________________, _____________________, _____________________. （2）原方程化为x－4x＋4＝－3＋4

（方程两边同时加上4）

_____________________, _____________________, 222= a

的形式，应用直接开方法求

_____________________. 三、归

纳

上面，我们把方程x－4x＋3＝0变形为x2＝1，它的左边是22一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方：

2x28x_____(x_____)；

x210x_____(x_____)2

x29x______(x_____)2

2x25x______(x_____)；

x23x_____(x_____)22

22xbx______(x_____)；

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、例题讲解与练习巩固

1、例2、

用配方法解下列方程：

（1）x－6x－7＝0；

（2）x＋3x＋1＝0. 2、练习：

①.填空：

22

（1）2 x26x

（2）x2－8x＋（

）＝（x- ）2（3）x＋x＋（

）＝（x＋

）2；

（4）4x－6x＋（

）22＝4（x－

）2

②

用配方法解方程：

（1）x2＋8x－2＝0

（2）x2－5 x－6＝0.

x276x

六、试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：移项，得

x2＋px＝－q，

ppp配方，得

x2＋2·x·2＋(2)2＝(2)2－q, pp24q即

(x＋2) 2＝4. 因为

p2－4q≥0时，直接开平方，得

pp24q

x＋2＝±2. pp24q所以

x＝-2±2, pp24q即

x＝2. 思

考：这里为什么要规定p2－4q≥0？

七、讨

论

1、如何用配方法解下列方程？

3）

（

4x2－12x－1＝0;

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：（1）将方程两边同时除以4，得

x2－3x－＝0 移项，得

x2－3x＝

配方，得

x2－3x+（）2＝+（）2

即

(x—) 2＝

直接开平方，得

x—＝±所以

x＝±310310所以x1＝2，x2=2

32323252321432141410

210

2

3，练习：用配方法解方程：

2

（1）2x7x20

（2）3x2＋2x－3＝0.

22x4x50

（3）

（原方程无实数解）

本课小结：

让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是

个负数，则指出原方程无实根。

布置作业：P38页习题2.（3）、（4）、（5）、（6），3，4.（1）、（2）

用公式法解一元二次方程

教学目标

（1）会用公式法解一元二次方程；

（2）经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力；

（3）渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.

教学重点

知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;

能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.

教学难点:求根公式的推导.

总体设计思路:

以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.

教学过程

整体教学流程：形成表象,提出问题

得出结论,解决问题

归纳小结,布置作业.

前置性作业：

解下列一元二次方程:(学生选两题做)

(1)x+4x+2=0 ; (2)3x-6x+1=0;

(3)4x-16x+17=0 ; (4)3x+4x+7=0.

2222

分析问题,探究本质

拓展应用,升华提高

然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?

接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:（学生不做,思考其解题过程）

(1)3x+4x+2=0; (2)3x-2x+1=0;

(3)4x-16x-3=0 ; (4)3x+x+7=0.

思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?

设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;

2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.

分析问题,探究本质

由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.

进而提出下面的问题:

既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?

让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.

ax+bx+c=0(a≠0) 注:根据学生学习程度的不同,可

ax+bx=-c 以采用学生独立尝试配方, 合

222222x+

2x=- 作尝试配方或教师引导下进行

x+2x+=-+ 配方等各种教学形式.

(x+

)=2

然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b-4ac”的重要性.

当b-4ac≥0时，

22(x+

)=2

注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,

x+

=

便于学生的理解.

x=-

即x=

x1=

当b-4ac<0时，

方程无实数根.

2 , x2=

设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.

得出结论,解决问题

由上面的探究过程可知,一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b-4ac≥0时，

22x=;

当b-4ac<0时，方程无实数根.

这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.

进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.

运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)

[共同练习]

(1)2x-x-1=0; (2)4x-3x+2=0 ;

222(3)x+15x=-3x; (4)x-

22x+=0.

此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.

[独立完成]

用公式法解一元二次方程:

(1)x+x-6=0; (2)x-

22x-=0; (3)3x-6x-2=0;

2(4)4x-6x=0; (5)x+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.

此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.

拓展运用，升华提高

分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).

22

[用一用]

解决本章引言中的问题:

要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?

雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:

即BC=2AC.

设雕像下部高xm,于是得方程

x=2(2-x)

整理得:x+2x-4=0.

解这个方程,得

222x=

x1=-1+

,x2=-1-.

,

精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.

考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.

在前面的基础上进一步提问:

(结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)

(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢?

(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?

之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.

此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.

[想一想]

清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.

此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.

归纳小结,布置作业

结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.

作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)

㈠作业本;

㈡拓广探索:P46第12题

㈢阅读思考P46-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.

2

实际问题与一元二次方程”教学设计

教学任务分析

1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现知识技能

实世界的一个有效的数学模型.

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运数学思考

用一元二次方程对之进行描述.

通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数解决问题

学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识.

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学情感态度

生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.

重点

难点

列一元二次方程的方法解有关问题的应用题．

发现问题中的等量关系．

教学流程安排

活动流程图

活动1 复习，回顾解应用题的一般步骤

活动2 封面设计问题

活动3 草坪规划问题

活动4 小结，布置作业

活动内容和目的

回顾解应用题的一般步骤及注意问题.

对比几种方案，探究问题中的数量关系及其变化，活跃思维，提高解题能力.

巩固的同时认识图形变换对解题思路的影响，熟悉面积问题应用题的基本思路和方法.

回顾，总结，提高知识的系统性.

教学目标

教学过程设计

问题与情景

「活动1」

问题

通过上节课的学***家学到了哪些知识和方法？

「活动2」

问题

要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）.

（1）本题中有哪些数量关系？

（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？

教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生对列方程解应用问题的步骤

是否清楚；

师生行为

设计意图

活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好（2）学生能否说出每一步骤的关键和铺垫.

应注意问题.

教师展示课件（或展示图片，如教科书图22.3-1），

请一位同学朗读题目.

教师提出问题（1）

学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系.

教师提出问题（2）

学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7.

问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫.

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

教师提出问题（3）

学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示.

问题（3）是活动2的中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性.

在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为活动3埋下一个伏笔.

（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？

教师提出问题（4）

问题（4）可以使学生学生分组，分别按问题三中所列的方程体会列方程与解方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解.

的完整结合，通过多题过程和应注意问题.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生对几何图形的分析能力；

（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；

（3）在讨论中能否互相合作；

（4）一元二次方程的解答能力.

（5）学生回答问题时的语言表达是否准确.

种方法解得相同结

论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验.

「活动3」

问题

如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？（见教科书习题22.3第10题图）：

（1）本题中有哪些数量关系？

教师展示课件（或展示图片）

请一位同学朗读题目.

教师提出问题（1）

学生回答，教师在题目中指出.

在活动2中，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路.

活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究.

（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？

教师提出问题（2）

问题（1）（2）是学生思考.因为有活动2的基础，选一位针对活动2的巩固性同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充.第4问让大家练习.但是由于本题的数量关系变形的空适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，间比较狭窄，经过解特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理.

析之后依然不能得到比较满意的答案.由此激发学生进一步探究的热情.

（3）对比教科书图22.3-1和习题22.3第10题图，它们有什么联系与区别？

教师提出问题（3）

学生分组讨论，教师指导.引领学生

讨论后请一位同学回答.

教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示.

问题3是活动3的中心环节，以图形对比的问题为

引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路.

（4）有什么方法使本题易于解决？

教师提出问题（4）

学生分组讨论，画图，上台演示.

在学生充分的思维活动之后，学生会教师与学生一起评价，总结图形变换的自然产生动手实践的基本原则.

在本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生在活动1中的学习效果；

欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意（2）使学生充分体会图形变换的灵活性；

对图形变换的指导，（3）学生对图形的观察、联想能力；

可以对部分不太合适（4）教师要强调图形变换中图形改变、的答案也进行一下点位置改变、关键量不变的原则.

评.

「活动4」

问题

通过本课的学***家有什么新的收获和体会？

布置作业：

教科书53页，习题22.3第5、8题;教科书58页，复习题22第7、10题

教师提出问题，学生回答.

教师总结.

在小结时，教师应重点关注：

点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知（1）对知识的归纳，总结，整理能力；

识脉络清晰.

（2）知识的横向联结能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想.

学生独立完成作业，教师批该后应关注：

（1）能否正确分析等量关系；

（2）能否有效变换图形，简化题意；

（3）解题思路是否完整，解题过程是否规范.

学生巩固，提高.

22.3 .1实践与探索(一) 教学目标：

1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

重点难点：

1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

教学过程：

一、巩固旧知识

21、解方程x70x8250，并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？

二、创设问题情境

小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？

（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

三、尝试解决问题

1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？

（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）

2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？

（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）

3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为xcm，依题意得：

(10x)281

10x9

x11，x29

因为正方形硬纸板的边长为10cm，

所以剪去的正方形边长为1cm。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为81181cm）

5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

四、试一试

如图，ABC的边BC8cm，高AM6cm，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积12cm，试求这长方形的边长。

五、拓展练习

什么情况下，长方形的面积最大。

小结：

1、谈谈本节的收获。

2、谈谈本节的体会。

3、谈谈本节的疑惑。

作业：

Ｐ42 习题1

23ADGBEMFC23.3 .2实践与探索(二) 教学目标：

1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。

2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。

重点难点：

1、重点：列一元二次方程解决实际问题。

2、难点：寻找实际问题中的相等关系。

教学过程：

一、考考你

1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等2于这两位数的7，求这个两位数。（这个两位数是63）

2、如图，一个院子长10cm，宽8cm，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为1m）

二、创设问题情境

阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？

三、尝试探索，合作交流，解决问题

1、翻一番，你是如何理解的？

（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）

2、“平均年增长率”你是如何理解的。

（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）

3、独立思考后，小组交流，讨论。

4、展示成果，相互补充。

解：设平均年增长率应为x，依题意，得

2(1x)2

1x2

x121，x221

x10.414，x23.414

因为增长率不能为负数

所以增长率应为41.4%。

四、拓展应用

若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？

又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？

独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。

五、做一做

1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？

小结：

谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。请一些小组展示成果。

作业：

Ｐ42 习题2、3、4、5