阅读与思考 生活中的反比例关系优质课教案整理

实际问题与反比例函数

【教学内容】

1．内容

运用反比例函数的概念、性质分析和解决简单的实际问题：例1和例2．

2．内容解析

本课内容是学习反比例函数概念和性质的基础上，综合运用反比例函数的概念和性质解决简单的实际问题，是对反比例函数概念和性质的进一步巩固和提升。例１通过研究修建圆柱形煤气储存室的实际问题，抽象为几何中圆柱的体积问题；例2通过研究卸载货物问题，抽象为工程问题。这两个问题的解决思路都是将蕴含在实际问题中的两个成反比例关系的变量抽象出来，建立反比例函数模型，进而运用反比例函数的概念和性质进行分析问题和解决问题。通过本节课的学习，深化对反比例函数的理解和认识，提高运用反比例函数知识解决实际问题的能力，体现数学的应用价值。

基于以上分析，本节课的教学重点是：将实际问题转化为数学问题，运用反比例函数的概念、性质分析和解决一些简单的实际问题。

【教学目标】

1．目标

（1）运用反比例函数的知识解决简单的实际问题；

（2）经历“实际问题—建立模型—解决问题”的过程，体会数学建模思想，发展学生分析、解决问题的能力和数学应用的意识。

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：通过对圆柱形煤气储存室的底面积、高和体积三者之间的关系探讨，抽象得出反比例函数关系，运用反比例函数知识解决实际问题。

达成目标（2）的标志是：能根据在运输过程中运输效率、运输时间与运输总量三者关系的自主探究，建立反比例函数模型，发展学生分析、解决问题的能力，增强学生应用数学知识解决问题的意识，感受到数学的应用价值。

【教学分析】

学生前面已经学习过正比例函数、一次函数和二次函数，能够运用这些函数思想解决一些简单的实际问题。但将实际问题抽象为数学问题，并且准确地建立相应的函数模型，对学生来

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说存在一定的难度。本节课运用反比例函数解决实际问题也不例外。学生可能存在从实际问题中抽象反比例函数时，对比例系数理解不透、对两个变量的反比例关系把握不准的问题。因此在建立反比例函数关系时，要仔细分析实际问题所给出的条件，准确抽象出常量和变量，正确理解变量之间的关系，确定两个变量的积是一个常量。同时，在分析问题的过程中，要注意变量在实际问题中的取值范围。

【教学重难点】

将实际问题中变量间的反比例关系抽象为反比例函数，并能利用反比例函数的性质解决实际问题。

【教学过程】

1．复习提问，引入新课

问题1 回顾一次函数和二次函数的学习过程，在学习了反比例函数的有关概念和性质后，接下来应该研究什么？如何研究？

师生活动：学生思考，教师与学生共同回顾正比例函数、一次函数及二次函数的研究过程，指出这些函数在生活中有广泛的应用，以引起学生对本节课的研究内容及研究方法的关注。

设计意图：进一步熟悉函数学习的基本过程和方法，点明研究的内容。

2．创设情境，自主学习

问题2 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m³的圆柱形煤气储存室。

（1）储存室的底面积S（单位：m²）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？

（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m²，施工队施工时应该向地下掘进多深？

（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m。相应地，储存室的底面积应改为多少？（结果保留小数点后两位）

师生活动：学生仔细读题，独立思考，弄清这是一个关于圆柱体积的应用题，

回忆圆柱体的体积公式，借助其体积公式v=sh，尝试确定（1）问中的函数关系。教师可以通过设置以下问题，

引导学生逐步分析，

最后通过建立反比例函数模型解决问题。

（1）这个问题可以转化为数学问题吗？需要用到哪些知识？

（2）在（1）中包含哪些量？

哪些是常量？哪些是变量？你能写出S与d的关系式吗？你能从函数的角度来解释这个关系式吗？

（3）在（2）中把储存室的底面积S定为500 m²，从函数角度来看，你怎么理解？

把储存室的深度改为15m又是什么意思呢？

在此活动中，教师应重点关注：

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①能否从实际问题中抽象出函数模型；

②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；

③能否独立思考，自主探索。

让学生独立思考，自主探索，从实际问题中抽象出数学问题，通过寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型。体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段。

3．新知应用，解决问题

问题3 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间。

（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t（单位：天）之间有怎样的函数关系？

（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 师生活动：学生在独立思考，教师适时提问，在这个问题中常量是什么？变量是什么？是否符合反比例函数的模型？如果是反比例函数，那么其比例系数是什么？在此基础上，学生写出平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t（单位：天）之间的函数关系式。教师引导学生从函数角度出发，该如何理解“不超过5天卸载完毕”，并进行讨论，寻求解决问题的方法。学生交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程。

在问题2的基础上，探究工程问题中存在的反比例函数，让学生进一步体验反比例函数是有效描述现实世界的重要工具，让学生充分认识到数学的应用价值。

4．巩固新知，学以致用

练习 巩固性练习，利用反比例函数解决实际问题中有关体积的问题，使学生体验运用新知，独自解决问题的快乐。

5．反思小结，形成方法

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）如何通过建立反比例函数模型解决实际问题？

（2）在运用反比例函数解决实际问题的过程中要注意什么问题？

通过小结，使学生梳理本节课所学内容和解决问题的过程与方法，巩固对反比例函数的性质的认识，进一步提高应用反比例函数解决实际问题的能力。

【作业布置】

1．已知某小区要规划修建一个面积为200m²的矩形草坪。

（1）写出其长y（单位m）与宽x（单位m）之间的函数表达式。

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（2）当草坪的长为20m时，求宽为多少？当草坪的宽为8m，求其长为多少？

（3）如果要求草坪的长不小于16m，其宽至多要多少？

进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，并用反比例函数解决实际问题。

2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示

（1）写出这个函数的解析式；

（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？

（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？

检测学生能否根据图像，确定反比例函数的解析式，并应用反比例函数的性质解决实际问题。

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