小结优质课一等奖

阶段滚动检测(十) (建议用时：90分钟) 一、选择题

x2y21.(2015·东北三省四市联考)以椭圆8＋5＝1的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的离心率为(

) 226A.13

26B.3

8C.3

13

D.8

c2226解析

由题意知双曲线的a＝3，c＝22，所以e＝a＝＝3. 3答案

B 2.(2016·北京海淀区模拟)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(

) A.3·2－2

B.2－4

C.3·2－10

D.2－8

解析

∵E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，

111－10∴p＝2，n＝12，则P(X＝1)＝C12. 12··2＝3·2答案

C 3.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有(

) A.3种

B.6种

C.9种

D.12种

1122解析

甲、乙各选两个景点有C3C3＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种.∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种).

答案

B 4.(2016·杭州模拟)设随机变量X～N(μ，σ2)，且X落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1，3)内的概率相等，若P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜2)等于(

) 1A.2＋p

B.1－p

C.1－2p

1D.2－p

解析

由X落在(－3，－1)内的概率和落在(1，3)内的概率相等得μ＝0.

又∵P(X＞2)＝p，∴P(－2＜x＜2)＝1－2p，

∴P(0＜X＜2)＝1－2p12＝2－p.

答案

D 5.已知直线y＝x＋b的在x轴上的截距在[－2，3]范围内，则直线在y轴上的截距b大于1的概率是(

) 1A.5

2B.5

3C.5

4D.5

解析

所有的基本事件构成的区间长度为3－(－2)＝5，

∵直线在y轴上的截距b大于1，

∴直线在x轴上的截距小于－1，

∴“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件的构成的区间长度为－1(－12)＝1，故直线在y轴上的截距b大于1的概率为P＝5.

答案

A 6.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(

) A.－180

B.180

C.45

D.－45 解析

因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，

28所以a8＝C810·2·(－1)＝180.

答案

B 7.袋中装有大小完全相同，标号分别为1，2，3，…，9的九个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的均值E(ξ)为(

) 1A.6

1B.3

1C.2

2D.3

解析

依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2.

111C12C6＋C6C51且P(ξ＝1)＝＝，

C329C111157P(ξ＝2)＝C3＝12，P(ξ＝0)＝1－2－12＝12，

95112因此E(ξ)＝0×12＋1×2＋2×12＝3.

答案

D 8.甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动，若每个社区至少有

一名义工，则甲、乙两人被分配到不同社区的概率为(

) 5A.6

1B.6

17C.27

10D.27

解析

因为甲、乙两人被分到同一个社区的情况有A33＝3×2×1＝6种，而将2四名义工分配到三个不同的社区，每个社区至少分到一名义工的情况有C4·A33＝36种，故甲、乙两人被分配到不同社区的情况共有36－6＝30种，故所求305概率为36＝6.

答案

A 9.(2015·湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(

) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，

P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4. A.2 386

B.2 718

C.3 413

D.4 772 解析

由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，

1∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.

2xS∴落在阴影部分中点的个数x估计值为10 000＝1(古典概型)，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C. 答案

C 10.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(

) 7A.0，12

7B.12，1

1C.0，2

1D.2，1

解析

X的所有可能取值为1，2，3，

∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，

∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，

151由E(X)＞1.75，即p－3p＋3＞1.75，得p＜2或p＞2(舍)，∴0＜p＜2.

2答案

C

二、填空题

11.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)

高一

高二

篮球组

45

15

书画组

30

10

乐器组

A

20 学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________. 解析

由题意知答案

30 12.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________. X P －1

a 0

b 1

c 2 112

30×60＝12.解得a＝30. 120＋a1解析

由题意得，a＋b＋c＋12＝1，①

1∵E(X)＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×12＝0，

1即－a＋c＋6＝0.②

12∵D(X)＝(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×12＝1，即a＋c＝3.③

51联立①②③解得a＝12，b＝4.

51答案

12

4

13.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在阴影区域的概率是________.

x318解析

S阴影＝4(1－xdx)＝41－0＝3，

3012

又S正方形ABCD＝2×2＝4.

由几何概型，所求事件的概率P＝2答案

3

14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定2该毕业生得到甲公司面试的概率为3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试的公司个数.若P(X＝0)＝1，则随机变量X的数学期望E(X)＝________. 12S阴影S正方形ABCD2＝3.

11解析

由题意知P(X＝0)＝12＝(1－p)2×3，

1∴p＝2，随机变量X的可能值为0，1，2，3，

1因此P(X＝0)＝12，

21111P(X＝1)＝3×2＋2×3×2＝3，

21115P(X＝2)＝3×2×2＋3×2＝12，

211P(X＝3)＝3×2＝6，

1515因此E(X)＝1×3＋2×12＋3×6＝3. 5答案

3

22222

三、解答题

15.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6

1.2

2.7

1.5

2.8

1.8

2.2

2.3

3.2

3.5 2.5

2.6

1.2

2.7

1.5

2.9

3.0

3.1

2.3

2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2

1.7

1.9

0.8

0.9

2.4

1.2

2.6

1.3

1.4 1.6

0.5

1.8

0.6

2.1

1.1

2.5

1.2

2.7

0.5 (1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？

解

(1)设A药观测数据的平均数为xA，B药观测数据的平均数为xB，

1则xA＝20(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3. 1xB＝20(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.则xA>xB，因此A药的疗效更好. (2)由观测结果绘制如下茎叶图：

7从茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有10的叶集中在茎“2.”，“3.”上；B7药疗效的试验结果有10的叶集中在茎“0.”，“1.”上. 由上述可看出A药的疗效更好.

16.如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率

分布直方图.

(1)求直方图中x的值；

(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差. 解

(1)依题意及频率分布直方图知，

(0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39)×1＝1，解得x＝0.12. (2)由题意知，X～B(3，0.1). 3因此P(X＝0)＝C03×0.9＝0.729，

2P(X＝1)＝C13×0.1×0.9＝0.243，

2P(X＝2)＝C23×0.1×0.9＝0.027，

3P(X＝3)＝C33×0.1＝0.001. 故随机变量X的分布列为

X P 0

0.729

1

0.243

2

0.027

3 0.001 X的数学期望为E(X)＝3×0.1＝0.3. X的方差为D(X)＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27. x2y217.如图，点P(0，－1)是椭圆C1：a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程. b＝1，解

(1)由题意得

a＝2.x22所以椭圆C1的方程为4＋y＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0). 由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，

则直线l1的方程为y＝kx－1. 又圆C2：x2＋y2＝4，

故点O到直线l1的距离d＝21，

k2＋1所以|AB|＝24－d＝24k2＋3. k2＋1又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0. x＋ky＋k＝0，由2

2x＋4y＝4.消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，

8k2＋18k故x0＝－.所以|PD|＝. 4＋k24＋k21设△ABD的面积为S，则S＝2|AB|·|PD| 84k2＋3＝，

4＋k2所以S＝13

4k＋3＋4k2＋3232≤2324k2＋3·134k2＋31613＝13，

10当且仅当k＝±2时取等号. 10所以所求直线l1的方程为y＝±2x－1.

18.某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，72也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为9和9；

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可311能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为5，3和15. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解

若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为

X1

P 300

79

－150 29

72∴E(X1)＝300×9＋(－150)×9＝200(万元). 若按“项目二”投资，设获利X2万元，

则X2的分布列为：

X2

P 500

35

－300

13

0 115

311∴E(X2)＝500×5＋(－300)×3＋0×15＝200(万元). 72D(X1)＝(300－200)2×9＋(－150－200)2×9＝35 000，

311D(X2)＝(500－200)2×5＋(－300－200)2×3＋(0－200)2×15＝140 000. 所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.