小结教学设计范文

基本不等式小结教学设计 洪洞县山焦中学 王勇

教学目标：

1.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

2.使学生能够运用基本不等式来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点与难点：

重点：能灵活利用基本不等式及其变式解决有关求值问题；

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

一、复习回顾：

引例：（1）若x>0，y>0，xy=4，求x+y的最小值。

解题分析：对于正数x，y且积为定值，求和的最值时利用xy2xy求其最小值。并加以总结：当积为定值时和有最小值。

（2）若x0，y0，x+y，求4的最大值。xy

（

解题分析：对于正数x，y且和为定值，求积的最值时利用xy当和为定值时积有最大值。

最值定理：已知a,b都是正数，

①如果积ab是定值p，那么当ab时，和ab有最小值2p； ②如果和ab是定值s，那么当ab时，积ab有最大值xy2）求其最大值。并加以总结：212s．

4说明：用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

二、例题讲解、发散思维 【题型1.不具备“正数”】

11例1、求yx(x0)的最大值。变式训练：若x1，求y(x1)的最大值。xx1

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。 本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足各项均为正值，当不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；对于本题的解法是化负为正。然后再利用基本不等式解题。

【题型2.不具备“定值”】

11例2、若0x，求yx(12x)的最大值。变式训练：求yx(x1)的最小值。2x1

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。 本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足为定值。不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；求和的最值化积为定值，求积的最值化和为定值。然后再利用基本不等式解题。

【题型3.不具备“相等”的条件】

11例3、若x2，求y=x+的最小值。

变式训练：求函数y(x22)2的最小值。x(x2)

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足等号成立。当不具备“相等”条件时，不能利用基本不等式解题。可以先讲解对勾函数yx的图像及单调性。观察函数的图像求解最值。总结：等号成立时，利用基本不等式求最值。等号不成立时，利用函数单调性求最值。

1x习题训练：

求下列函数的值域:

x24x51、已知x2，求y的最小值。x2

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

本题小结：对于分母为一次函数，分子为二次函数的分式函数求最值，可以结合以前所学过的分离常x24x51（x2)变形为y(x2)(x2)的形式，也可以利用换元法数法将分式函数yx2(x2)1令x2t，t0将分式函数变形为yt(t0)的形式，再利用基本不等式解题。

t

2、求函数y

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

本题小结：对于分母为二次函数，分子为常数项为0的一次函数的分式函数求最值，分子分母同除以分子；转化为分母为基本不等式形式。对于分母先利用基本不等式求解，再求其倒数。解题时一定要注意基本不等式的使用条件。

【题型4.含两个变量或多个变量的最值问题】

例4、已知x，y为正实数，且x+y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；

x（x0）的最大值。x24

(2)求 11的最小值。xy

学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。

本题小结：对于（1）已知两正数的和为定值求积的最值，直接利用基本不等式解题，并强调等号成立的条件。对于（2）中求1111的最小值，采用的是整体代换思想，将中的1用xy1来代换，xyxy转化为

11xyxyyx2，再利用基本不等式解题。

xyxyxy归纳：利用基本不等式求函数值域，要注意基本不等式的三个条件: （1）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；

（2）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值）

（3）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

三、课堂小结：

本节课的主要内容是用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

四、作业布置：

1、若a0,b0,ab1。求证:114。ab

2、求证：2x312（2）2（1）x21(x0)2x2x1