复习参考题教学评价实录

第七节

离散型随机变量及其分布列

[考纲传真]

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列. X P x1

p1

x2

p2

…

…

xi

pi

…

…

xn

pn

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

X P 0

1－p 1 p

，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件n－kCkMCN－M次品，则P(X＝k)＝Cn，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，NM≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布. X 0

1

…

m

1

P n－0C0MCN－M

CnNn－1C1MCN－M

CnN…

n－mCmMCN－M

CnN

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(

) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．(

) X P 2

0.3

5 0.7 (4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(

) [答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

2．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是(

) A．一颗是3点，一颗是1点

B．两颗都是2点

C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点

D

[甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.] 3．设随机变量X的分布列如下：

X P 则p等于(

) 1A.6

1C.4

1B.3

1D.12

1

112

2

16

3

13

4

16

5 p

1111C

[由分布列的性质，12＋6＋3＋6＋p＝1.

2

31∴p＝1－4＝4.] 4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 110

[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为n，3∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝n＝0.3，∴n＝10.] 5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的概率分布列为________. X P 0

0.1

1

0.6

2 0.3

[依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2. 211C2C3C2则P(X＝0)＝C2＝0.1，P(X＝1)＝C2＝0.6，

552C3P(X＝2)＝C2＝0.3. 5故X的分布列为

X P 0

0.1

]

离散型随机变量分布列的性质

1

0.6

2 0.3

设离散型随机变量X的分布列为

X P 0

0.2

1

0.1

2

0.1

3

0.3

4 m

求随机变量η＝|X－1|的分布列．

【导学号：01772411】

[解]

由分布列的性质，知

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.4分

列表

3

X |X－1|

0

1

1

0

2

1

3

2

4 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝0.3，P(η＝3)＝0.3.10分

因此η＝|X－1|的分布列为

η

P 0

0.1

1

0.3

2

0.3

3 0.3 12分

[规律方法]

1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数．

2．若X是随机变量，则η＝|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列．

[变式训练1]

随机变量X的分布列如下：

X P －1

a 0

b 1 c

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________. 2b＝a＋c，2

[由题意知

3a＋b＋c＝1，12所以2b＋b＝1，则b＝3，因此a＋c＝3. 2所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝3.]

离散型随机变量的分布列

(2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．

4

[解]

(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，1A132A3P(A)＝A2＝10.5分

5(2)X的可能取值为200,300,400. 112A3A2133＋C2C3A22P(X＝200)＝A2＝10，P(X＝300)＝＝3A510，

5P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300) 1363＝1－10－10＝10＝5.8分

故X的分布列为

X P 200

110

300

310

400 35

133E(X)＝200×10＋300×10＋400×5＝350.12分

[规律方法]

1.求随机变量的分布列的主要步骤：

(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；

(2)求每一个随机变量取值的概率；

(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步．

2．本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X＝400)的概率，简化了计算．

[变式训练2]

(2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

12C13C4＋C31[解]

(1)由已知，有P(A)＝C2＝3. 101所以，事件A发生的概率为3.5分

(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

5

22C3＋C243＋C4P(X＝0)＝＝2C1015，

111C3C3＋C173C4P(X＝1)＝＝15，

2C1011C3C44P(X＝2)＝C2＝15.8分

10所以，随机变量X的分布列为

X P 0

415

1

715

2 415

474随机变量X的数学期望E(X)＝0×15＋1×15＋2×15＝1.12分

超几何分布

(2017·衡水中学质检)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.

【导学号：01772412】

222C262C3＋C3C3[解]

(1)由已知，有P(A)＝＝4C835. 6所以，事件A发生的概率为35.5分

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 4kCk5C3P(X＝k)＝C4(k＝1,2,3,4)．

8－1322C5C31C5C33则P(X＝1)＝C4＝14，P(X＝2)＝C4＝7，

883140C5C33C5C31P(X＝3)＝C4＝7，P(X＝4)＝C4＝14.8分

88所以随机变量X的分布列为

6

X P 1

114

2

37

3

37

4 114

12分

[规律方法]

1.超几何分布是一种特殊的概率分布，其分布列可由公式直接给出．具有两个特点：(1)是不放回抽样问题；(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．

2．超几何分布应用的条件：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体个数ξ的概率分布，其实质是古典概型问题．

[变式训练3]

(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

[解]

(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算111C2C3C51公式有P(A)＝C3＝4.5分

10(2)X的所有可能值为0,1,2，且

3C87P(X＝0)＝C3＝15，

1012C2C87P(X＝1)＝C3＝15，

1021C2C81P(X＝2)＝C3＝15.8分

10综上知，X的分布列为

X P 0

715

1

715

2 115

10分

7713故E(X)＝0×15＋1×15＋2×15＝5(个).12分

7

[思想与方法] 1．对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．

2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．

[易错与防范] 1．对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1,2，…，n)，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．

2．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．

3．分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．

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