1.3 二项式定理（通用）特级教师教学实录

例说二项式定理的常见题型及解法

二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式

1．“(ab)n”型的展开式

14例1．求(3x)的展开式；

x3x14(3x1)4)= 解：原式=(

2xx101234=2[C4(3x)4C4(3x)3C4(3x)2C4(3x)C4]

x1 =2(81x484x354x212x1)

x121 =81x284x254

xx

小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2．

“(ab)n”型的展开式

14)的展开式；

例2．求(3xx1414)改写成[3x()]的形式然后按照二分析：解决此题，只需要把(3xxx项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算13Cn9Cn27Cn....(1)n3ncn；

解：原式=CnCn(3)1Cn(3)2Cn(3)3....Cn(3)n(13)n(2)n

小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

二、通项公式的应用

1．确定二项式中的有关元素

9ax9例4．已知()的展开式中x3的系数为，常数a的值为 4x2解：Tr1r9xrra9rrr9r22

C9()()C9(1)2axx2r301233123n3 令r93，即r8

2依题意，得

98C9(1)824a98，解得a1

42．确定二项展开式的常数项

1 1

例5．(x3r101x)10展开式中的常数项是 10r解：Tr1C(x)(31x)(1)Cxrrr1055r6 5 令5r0，即r6。

66 所以常数项是(1)6C10210

3．求单一二项式指定幂的系数

1例6．（03全国）(x2)9展开式中x9的系数是 ；

2x1111rrr解：Tr1C9(x2)9r()r=C9x182r()r()r=C9()rx183x

2x2x2 令183x9,则r3，从而可以得到x9的系数为：

121213 C9()3，填

222三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数

例7．(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于

解：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的，则有

01230123 C2(1)0C3(1)1C4(1)2C5(1)3(C2C3C4C5)20 例8．（02全国）（x21)(x2)7的展开式中，x3项的系数是 ；

解：在展开式中，x3的来源有：

①

第一个因式中取出x2，则第二个因式必出x，其系数为C7(2)6；

②

第一个因式中取出1，则第二个因式中必出x3，其系数为C7(2)4

x3的系数应为：C7(2)6C7(2)41008,填1008。

6446四、利用二项式定理的性质解题

1.求中间项

1例9．求（x3)10的展开式的中间项；

x11r5解：Tr1C10(x)10r(3)r,展开式的中间项为C10(x)5(3)5

xx 即：252x。

当n为奇数时，(ab)n的展开式的中间项是C2.求有理项

例10．求(x3r56n12nn2nan2n12n2bn12和Cn12nan12bn12；

当n为偶数时，(ab)n的展开式的中间项是Cab。

1x)10的展开式中有理项共有 项；

解：Tr1C10(r)10r(31x当r0,3,6,9时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

①

当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

②

当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那)rC10(1)rxr104r3

2 2

么这个代数式是无理式。

1.求系数最大或最小项

（1）

特殊的系数最大或最小问题

例11．（00上海）在二项式(x1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 ；

解：Tr1C11x11r(1)r

r要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C11为最大，由此得r5，从而可知最小项的系数为C11(1)5462

（2）

一般的系数最大或最小问题

1 例12．求(x4)8展开式中系数最大的项；

2x 解：记第r项系数为Tr，设第k项系数最大，则有

TkTk1r1  又TrC8.2r1，那么有

TkTk1k1k1k2C8.2k2C8.2 

k1k1kkC8.2C8.28!8!2(k1)!.(9K)!(K2)!.(10K)! 即

8!8!2K!(8K)!(K1)!.(9K)!5r21 K1K2

219KK解得3k4，

系数最大的项为第3项T37x和第4项T47x。

（3）

系数绝对值最大的项

例13．在（xy)7的展开式中，系数绝对值最大项是 ；

解：求系数绝对最大问题都可以将“(ab)n”型转化为"(ab)n"型来处理，

故此答案为第4项C7x3y4，和第5项C7x2y5。

五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和

例14．若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，

则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为 ；

解：

(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4

令x1，有(23)4a0a1a2a3a4，

令x1，有(23)4(a0a2a4)(a1a3)

故原式=(a0a1a2a3a4).[(a0a2a4)(a1a3)]

=(23)4.(23)4

=(1)41

在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：1,1,0特殊值在解题过程中考虑的比较多。

4552723 3

例15．设(2x1)6a6x6a5x5...a1xa0则a0a1a2...a6 ；

分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。

解：Tr1C6(2x)6r(1)r

ra0a1a2...a6a0a1a2a3a4a5a6

=(a0a2a4a6)(a1a3a5)=0 六、利用二项式定理求近似值

例16．求0.9986的近似值，使误差小于0.001；

分析：因为0.9986=(10.002)6，故可以用二项式定理展开计算。

解：0.9986=(10.002)6=16.(0.002)115.(0.002)2...(0.002)6

T3C6.(0.002)215(0.002)20.000060.001，

且第3项以后的绝对值都小于0.001，

从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

0.9986=(10.002)616(0.002)=10.0120.988

小结：由(1x)n1CnxCnx2...Cnxn，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，x2,x3,....xn等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：(1x)n1nx，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精n(n1)2x。

确的公式：(1x)n1nx2 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。

七、利用二项式定理证明整除问题

例17．求证：51511能被7整除。

证明：51511 =(492)511

=C514951C51.4950.2C51.4949.22....C51.49.250C51.2511

=49P+2511（PN）

又2511(23)171

=（7+1）171

=C17.717C17.716C17.715....C17.7C171

=7Q（QN）

515117P7Q7(PQ)

51511能被7整除。

在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二

项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑

出相关的因数。

0121617012505112n24 4