小结ppt配用优秀获奖教案

第四节基本不等式

基础盘查一

基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念

(一)循纲忆知

1．了解基本不等式的证明过程；

2．理解基本不等式及变形应用．

基础盘查二

利用基本不等式求最值问题

(一)循纲忆知

会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

考点一

利用基本不等式证明不等式|

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．

ba(2)＋≥2(a，b同号)．

ab(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)≥22(a，b∈R)．

[典题例析]

bcacab设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. abc证明：∵a，b，c都是正数，

bccaab∴，，都是正数．

abcbcca∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，

abcaab＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，

bcabbc＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．

cabccaab三式相加，得2a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，

bccaab即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时等号成立．

abc[类题通法]

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

[演练冲关]

11设a，b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22. ab证明：由于a，b均为正实数，

11所以2＋2≥2 ab112·＝，

a2b2ab11当且仅当2＝2，即a＝b时等号成立，

ab2又因为＋ab≥2 ab2·ab＝22，

ab2当且仅当＝ab时等号成立，

ab112所以2＋2＋ab≥＋ab≥22，

ababa＝b，当且仅当2ab＝ab，2211

4即a＝b＝2时取等号．

考点二

利用基本不等式求最值|(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识]

已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 4[一题多变]

[典型母题]

11已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则a＋b的最小值为________．

[解析]

∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，

11a＋ba＋bba∴＋＝＋＝2＋＋

ababab≥2＋2ba·＝4，

ab111即a＋b的最小值为4，当且仅当a＝b＝2时等号成立．

[答案]

4

111＋1＋的最小值为________．

[题点发散1]

本例的条件不变，则ab11baa＋ba＋bba1＋1＋＝1＋2＋·2＋＝5＋2＋≥5＋4＝9.当解析：＝1＋abababab1且仅当a＝b＝时，取等号．

2答案：9 11[题点发散2]

本例的条件和结论互换即：已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小ab值为________．

1111解析：由＋＝4，得＋＝1. ab4a4b111ba1＋(a＋b)＝＋＋≥＋2∴a＋b＝4a4b24a4b21当且仅当a＝b＝时取等号．

2答案：1 21[题点发散3]

若本例条件变为：已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为________．

ab12解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1，

332112214a4ba＋b＋＝＋＋

∴＋＝ab33ab33b3a4≥＋238答案：

3111[题点发散4]

本例的条件变为：已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，则＋＋的abc最小值为________．

解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，

ba111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cbcacab∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋a＋b＋abcabcaabbcca4b83·＝.当且仅当a＝2b＝时，取等号．

3b3a32ba＋＝1. 4a4bc＋a＋c＋b≥3＋2＋2＋2＝9. acbc1当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．

3答案：9 [题点发散5]

若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在

14两项am，an，使得am·an＝22a1，则＋的最小值为________．

mn解析：设公比为q(q＞0)，由a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2＝0(q＞0)⇒q＝2. 14－－m－1n－1am·an＝22a1⇒a12m1·a12n1＝8a2·2＝8⇒m＋n－2＝3⇒m＋n＝5，则＋＝1⇒2mnn4m114119＋(m＋n)＝5＋＋≥(5＋24)＝，

5mn5mn5510当且仅当n＝2m＝时等号成立．

39答案：

5[类题通法]

利用基本不等式求最值的方法及注意点

(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．

(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．

(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．

(4)利用基本不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．