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《二元不等式最值问题的常规解法》教学设计

富阳中学---林荣锋

一、

教材分析

本节课是在学生学习了基本不等式的基础上的一堂专题课，是学生在高中阶段面对二元不等式最值问题的拓展延伸。教材中是以基本不等式为载体，对基本不等式的应用中往往渗透了三角函数，函数，数列，解析几何的内容，突出体现了不等式的工具性和实用性。

二、

学情分析

学生在学习基本不等式内容时，对课堂内容掌握熟练，已经初步了解解决二元问题方式方法。而在二元不等式最值问题的探究中往往遇到无法直接通过基本不等式解决的问题，需要学生深入挖掘、拓展思维，深刻李婕基本不等式的功能，形成技能技巧，提高分析问题解决问题的能力。

三、

教学目标

（1）

掌握二元不等式最值问题的常规方法

（2）

体会二元问题的等价转化思想

（3）

提高学生灵活解决二元问题的能力

四、

教学重难点

教学重点：掌握二元不等式最值问题的常规方法

教学难点：灵活应用多种方法解决二元不等式最值问题

五、

教学过程

1.回顾训练，复习使用基本不等式的条件

11(1)已知x0,y0,且1,求x2y的最小值;xy14

(2)求函数y(0x1)的最小值;x1x

243(3)求函数y(0x)的最小值;x32x2

(4)若正数满足x3y5xy,则3x4y的最小值是__.

学生活动：独立完成习题，归纳方法

教师活动：请同学们回顾使用基本不等式的条件是什么？（一正二定三相等）

除了直接利用基本不等式外，还可以利用消元思想转化为函数问题。

【设计意图】通过题组解答，先回顾基本不等式使用的基础条件，巩固基本不等式的主要内容和基本方法。

除了直接利用基本不等式方法外，还可以利用消元思想化归为函数问题解决，渗透消元思想是为求含多变量代数式最值问题奠定基础。

教师活动：那么，是否运用基本不等式和消元思想就能解决所有的二元不等式问题呢？

2.例题讲解

例1：

x0,y0,且xyxy3,请问你有几种办法求xy的最小值.已知学生活动：独立思考、完成，归纳方法（消元法，整体换元基本不等式法，因式分解）

教师活动：启发学生解题思路，归纳小结。

思考：在分别使用消元法，整体换元法和因式分解法的过程中是否有限制条件？

如何题目条件改为“ 求x2y的最小值”，这些方法还适用吗？请同学们动手尝试下。

学生活动：归纳出消元法和因式分解法适用变式题，而整体换元法这条路走不通，不满足基本不等式的使用条件。

【设计意图】设置变式题，是为了激发学生探究的欲望，提升解题的基本技能技巧。本题是在掌握例1的思想方法以后的进一步提升，目的在于探寻解决这一类型问题的通性通法，引导学生探究例题各种解法的适用情况，培养学生归纳总结能力，形成认知能力，促进数学思想的发展。

3.例题讲解

教师活动：刚刚我们解决的是二元一次不等式的最值问题，那么如果给我们的是二元二次不等式的最值问题呢？我们又该如何解决？我们刚刚归纳得到的三种方法还适用吗？

例2：

已知实数x,y满足x2y2xy1,求xy的最大值.学生活动：学生充分思考，自主发言，分析本问题是否可以采用消元法，因式分解法。是否可以采用整体换元法。

教师活动：本问题因为分离不出单独的变量x或y，所以难以采用消元法解决，显然也无法进行因式分解。但可以通过整体换元求解。

我们也可以将它看作一个关于x的二次方程，由判别式法解决问题。

思考：二元二次方程是否可以配方成圆方程的形式？

学生活动：尝试将二元二次式配方。

教师活动：将二元二次式配方后，利用三角换元，将x,y变量分别用三角变量表示，从而将问题转化成三角函数求最值问题。

变式2：

已知实数x,y满足4x2y2xy1,求2xy的最大值.(1)

(2)已知x0,y0,且满足2xyxy6,求4x2y2的最小值.【设计意图】本题与例1明显不同，思维方式明显改变，已知条件到探求的结论，在思维存在较大差异，直接用基本不等式很难做到，有一定难度。设置本题是为了让学生从本题的解法探究中，领悟基本不等式的灵活运用，学会运用多种数学基本技能、思维方式及数学思想，夯实基础，厚积薄发，让探究成为习惯，让方法更加多元化。然后利用变式题，让学生积极思考、自主探究，培养学生独立思考意识，同时巩固解决这类问题的思想方法与基本技能。

4.提升训练

教师活动：如果再改变式子结构，我们还能解决吗？

例3：

已知实数x,y满足x2y22xy7,求x2y2的最小值.教师活动：判别式法和整体换元法显然行不通，那么是否还能将这个二元二次式进行配方，利用三角换元解决呢？

学生活动：自主练习，请学生上台练习，检验是否掌握三角换元法

教师活动：请同学们思考，本问题是否能用基本不等式解决呢？

教师启发学生调整系数，使不等式中二次的变量系数相等，便可得解，引出待定系数法。再通过变式3的练习，学生巩固此方法。

变式3：

已知实数x,y满足2x2y22xy1,求2xy的取值范围.【设计意图】当很难找到已知条件和要求解的式子的直接联系时，待定系数法时很好的手段，并且方法很巧妙，它可以帮助我们探寻使用基本不等式的条件和解题入口，从而达到求解目的。这种解决问题的方法需要理解掌握、灵活运用。

5.课堂小结

本节课我们学习了二元不等式最值问题的常规解法，主要有：基本不等式公式运用，整体换元，消元函数法，因式分解法，判别式法，三角换元法以及待定系数法。通过本节课的学习，我们在今后面对二元不等式问题时，要学会分辨上述方法的适用情况，从而对症下药，找到突破口快速解题。