小结公开课教案（教学设计）

普通高中课程标准实验教科书（人教版）

高中数学选修2-3第一章第三节第二课时

探究与发现

“杨辉三角”中的秘密

石家庄市藁城区第九中学

刘敏霞

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一、教材分析：

（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1.高二的学生已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。2.班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

四、基于以上分析，我制定本节课的教学重点和难点为：教学重点：引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题；从而培养学生自主学习的能力. 教学难点：利用赋值法解决展开式的系数问题。

五、教学手段：多媒体辅助教学，导学案

六、教学过程：

设计环节

新课导入

师生活动

由同学们一起回顾二项式展开式入手，引入课题。

设计意图

温故知新介绍杨辉三角相关历史，激发学生学习兴趣，培养爱国热情。

新课讲授

环节一：展示杨辉三角图，观察、分析杨辉三角。我们学过以上四条是二项式哪些性质？它们与组合数之间有什么关系？仔细观察杨辉三系数的基本性质,也是本角的图形，根据导学案的问题，小组讨论，得出相关的性质。

节课教学的重点,是解决后面问题的基础,采取分环节二：分析杨辉三角，得出性质：

组讨论、交流展示的学习（1）三角数表中的每一行的数字有什么特点？反映了组合数方式，让学生展示自主探的哪个性质？

究的结论,让学感受到自主探究的成就,同时激发（2）相邻两行的数字有什么关系？反映了组合数的哪个性继续探究的热情。

596质？若C15a,C15b，那么C16. 特别说明,在第三个问题中，可进一步延伸，若（3）二项式的幂指数为偶数时，展开式的二项式系数最大项x1时，证明奇（偶）是第几项？

数项的二项式系数和，从幂指数为奇数时，展开式二项式系数最大项是第几项？

而解决练习题第一题。

（4）将每一行的数字相加，你会发现：第n行数字的和为_______，如何证明？

第n行的奇数项相加，和是多少？偶数项呢？

在第五个问题中，学生可能提出一些自己发现的探究结果,可以留待3-5分

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（5）从三角数表中，你还能发现其它的性质吗？

钟让学生展示一下，并由此拓展杨辉三角的悠久历史和诸多奥秘，凸现数学史教学，促进学生发展。

利用杨辉三角的基本性质来解决问题

例1：利用性质解决相关的系数问题，注意二项式系数和系数的区别；

例2：赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，促进学生进一步掌握二项式系数的性质，引导学生学会用赋值法解决问题，促进其有意识的运用．

6-10分钟板书演练，展示成果

(2)中，“只有第6项的系数最大”，能否换成“只有第6项的二项式系数最大”？

例题研究

环节三：学生展示自己的成果

例1.

已知(x21)n展开式的各项二项式系数和是1024，求展开式中含x的项. 例2.设(3x1)8a8x8a7x7则（1）a8a7a6（2）a8a7a6a58a1xa0，

a1a0；

a1a0；

（3）a8a6a4a2a0. 习题点拨：

1.CCC135C10C10C10110210310C______；

9C10______

10102.(1)在2x_________. (2)已知(x39(4)中，一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x的展开式中，二项式系数最大的项为＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，

1n)的展开式中，只有第6项的系数最大，则奇次项系数和为

3x1展开式中的常数项为__________. [f(1)－f(－1)]，

2(3)设(1x)a13xa12x项的系数的和为___________. (4)多项式(3x5)(7x4x2)的展开式的各项系数和为________. 课堂练习

32446131312a1xa0，求含x的奇次偶次项系数和为

1[f(1)＋f(－1)]，

2a0＝f(0)．

（1）求(1a)(1b)(1c)展开式的各项系数和；

让学生进行自我练习，进一步熟悉本节课所学内容，形成程序性步骤，达

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（2）求多项式(3x4x32x7)8(3x5)4(7x44x2)6

的展开式的各项系数和。

课堂小结

杨辉三角奥秘无穷，大家从不同角度，一定会发现更多的规律!熟悉的地方也会有风景! 利用杨辉三角可得二项式系数的对称性、增减性和最大项等性质；常用杨辉三角的性质处理二项式系数问题，特别是赋值法。

杨辉三角还有很多有趣的规律，不仅可“横看”找规律，还可“斜看”、“竖看”，或从奇偶性等多角度观察，请同学们利用课余时间去探索其中的奥秘！

到熟练程度。

进一步回顾本节知识点，通过课堂的整理、总结与反思，使学生更好的掌握主干知识，体会探究过程中渗透的数学思想方法。

启发学生课后对杨辉三角再深入探究

扩展思考

七、效果分析

1、通过本节课的学习，掌握杨辉三角的性质；2、拓展杨辉三角的诸多性质规律，凸现数学史教学；

3、利用性质解决二项式系数的有关问题；4、掌握赋值法，并合理熟练的运用赋值法。

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