二 一般形式的柯西不等式优质课教案设计

3．2 一般形式的柯西不等式

1．利用柯西不等式证明不等式．

2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．

3．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．

1．柯西不等式向量形式：|α||β|____________|α·β|.

答案：≥

2．定理(柯西不等式的推广形式)：设n为大于1的自然数，ai，bi(i＝1，2，…，n)为任意实数，则：

222∑n,i＝1ai∑n,i＝1bi________(∑n,i＝1aibi)，

其中等号当且仅当＝＝…＝时成立(当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1，2，…，n)．

答案：≥

思考1 设x＋y＋z＝19，则函数u＝x＋4＋y＋9＋z＋16的最小值是(

)

A．442 B.442 C．38 D．76 解析：u＝x＋y＋z＋4＋9＋6＋2（x＋4）（y＋9）＋2（y＋9）（z＋16）＋222222222（x＋4）（z＋16）≥x＋y＋z＋2＋3＋4＋2(xy＋2×3)＋2(xz＋2×4)＋2(yz＋22223×4)＝(x＋y＋z)＋(2＋3＋4)＝19＋9＝442. ∴u≥442. x2x21y3当且仅当＝，＝＝，＝时，等号成立．

y3z42z4∴umin＝442. 答案：B

2222思考2 求证：a＋b＋c＋d≥ab＋bc＋cd＋da. 证明：取两组数a，b，c，d；b，c，d，a，

222222222由柯西不等式有(a＋b＋c＋d)(b＋c＋d＋a)≥(ab＋bc＋cd＋da)，

222222即(a＋b＋c＋d)≥(ab＋bc＋cd＋da). 2222∴a＋b＋c＋d≥|ab＋bc＋cd＋da|≥ab＋bc＋cd＋da. ∴原不等式成立．

22222222222b1b2a1a2bnan

1

一层练习

1．已知a1＋a2＋…＋an＝1，x1＋x2＋…＋xn＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(

) A．1 B．2 C．3 D．4 答案: A

2222．已知x，y，z为正数，x＋y＋z＝1，则x＋y＋z的最小值为(

) 111A. B. C. D．不存在

435答案: B

2223．同时满足2x＋3y＋z＝13…(1)，4x＋9y＋z－2x＋15y＋3z＝82…(2)的实数x、y、z的值分别为______，______，______．

解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，

222则x1＋x2＋x3＝18且x1＋x2＋x3＝108. 22222222由此及柯西不等式得18＝(x1＋x2＋x3)≤(x1＋x2＋x3)(1＋1＋1)＝108×3，

上式等号成立的充要条件＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝4. 111答案：3 1 4

222222x1x2x3

二层练习

4．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．

2解析：由柯西不等式得：(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝(1×4a＋1＋1×4b＋1＋22221×4c＋1)≤(1＋1＋1)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3×[4(a＋b＋c)＋3]＝21. 1当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

3∴4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值为21.

222＋1111005．a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a＋＋b＋＋c＋≥. 3abc＋1212证明：∵(1＋1＋1)a＋＋b＋＋

ab222

211121112c＋1a＋＋b＋＋c＋＝1＋＋＋，

c≥abcabc1112而(a＋b＋c)＋＋≥(1＋1＋1)＝9，

abc2

1112111即＋＋≥9，∴1＋＋＋≥100，

abc2abc2111100∴a＋＋b＋＋c＋≥.

3abc

2a2b2c26．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. bca证明：由柯西不等式得

a2b2c2a·b＋b·c＋c·a2222

＋＋[(b)＋(c)＋(a)]≥，cabbcaabc2于是＋＋(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)，

bcaa2b2c2即＋＋≥a＋b＋c.

bca

7．设a，b，c为正数，且不全相等，求证：证明：构造两组数a＋b，b＋c，c＋a；得

(a＋b＋b＋c＋c＋a)即2(a＋b＋c)于是2229＋＋>. a＋bb＋cc＋aa＋b＋c1222a＋b，1b＋c，1c＋a，则由柯西不等式1＋1＋1≥(1＋1＋1)2，

a＋bb＋cc＋a1＋1＋1≥9，

a＋bb＋cc＋a2229＋＋≥.①

a＋bb＋cc＋aa＋b＋c由柯西不等式知，①式中等号成立⇔

a＋b1＝b＋c1＝c＋a1⇔a＋b＝b＋c＝c＋a⇔a＝b＝c. b＋cc＋a因题设a，b，c不全相等，故①式中等号不成立．

于是

三层练习

8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a＋4b＋9c的最小值为______．

解析：使用柯西不等式求解．

∵a＋2b＋3c＝6，

∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.

222a＋b2229＋＋>.

a＋bb＋cc＋aa＋b＋c3

∴(a＋4b＋9c)(1＋1＋1)≥(a＋2b＋3c)，

222即a＋4b＋9c≥12. 111当且仅当＝＝，

a2b3c2即a＝2，b＝1，c＝时取等号．

3答案：12

9．设x，y，z∈R，且满足；x＋y＋z＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________．

22222222解析：由柯西不等式可得(x＋y＋z)(1＋2＋3)≥(x＋2y＋3z)，即(x＋2y＋3z)≤2222222222yz141414，因此x＋2y＋3z≤14.因为x＋2y＋3z＝14，所以x＝＝，解得x＝，y＝，23147z＝314314，于是x＋y＋z＝. 147314答案：

722222210．设a，b，c，x，y，z是正数，且a＋b＋c＝10，x＋y＋z＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋c＝(

) x＋y＋z1113A. B. C. D.

4324解析：由于(a＋b＋c)(x＋y＋z)≥(ax＋by＋cz)等号成立当且仅当＝＝＝t，1abca＋b＋ca＋b＋c则a＝tx，b＝ty，c＝tz，t2(x2＋y2＋z2)＝10.由题知t＝，又＝＝＝，所以2xyzx＋y＋zx＋y＋z1＝t＝. 2答案：C

11．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．

(1)求m的值；

111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. a2b3c解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，

得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．

又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1. 111(2)由(1)知：＋＋＝1，

a2b3c又a，b，c∈R，由柯西不等式得：

1112111＋3c·a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＋＋≥a·＋2b·＝9，

a2b3ca2b3c即a＋2b＋3c≥9.

＋2222222abcxyz

4

1．证明一般形式的柯西不等式是通过构造了二次函数，利用配方法，通过讨论相应的判别式来证明不等式，特别地要掌握等号成立的充分必要条件．

2．对一般形式的柯西不等式的学习可由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广，这样易于记忆不等式的结构与特征，对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究．

3．对一般形式的柯西不等式应注意整体的结构特征，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用．

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