一 数学归纳法优秀教学实录

《2.3数学归纳法》教学设计 一、【教材分析】

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

二、【学情分析】

我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

三、【策略分析】

本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活—理论—实际应用”的过程；采用“教师引导—学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。

四、【教学目标】

（1）知识与技能目标：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。

（2）过程与方法目标：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观目标：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

五、【教学重难点】

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；

教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。

六、【教学方法与工具】

教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。

学法指导：（1）学习要求：①课前预习教材中有关内容；②听课时积极思考大胆质疑；③课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。

教学手段：多媒体辅助课堂教学。

七、【教学过程】

一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）

（情景一）某人看到树上友已值乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”这个结论是否正确呢？

（情境二）在数列an中，已知a11,an1an1an(nN*),发现a11，1a21111，

a3，a4，由此猜想数列的通项公式为an(nN*).4n23这个结论可靠吗？怎样才能说明其正确性？

【设计意图：】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。以上两个情境都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

【实例：】播放多米诺骨牌的游戏视频

【探究：】多米诺骨牌全部倒下的条件

【分析：】（实验一：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌、、、自然也没有倒下，游戏失败；

（实验二：）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比实验一实验，分析原因；

（实验三：）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌、、、全部骨牌依次倒下；

【设计意图：】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨在引导学生从不同角度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到完整的过渡。

三、立足生活，点燃思维的火花

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境二的问题。）

①

第一块骨牌必须要倒下

②任意相邻的两块骨牌，若前一块

倒下，则后一块也倒下

①当

n1

时，猜想成立

②任意相邻的两项，假设

nk时，猜想成立，即ak1k(kN*)，

则当nk1时：1ak1ak1akk111(kNk1*)k

即当nk1时猜想成立

发现，对任意的正整数n猜想都成立，即该数列的通项公式是an1n(kN*)四、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立；

（2）（归纳递推）假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1

时

命题也成立。

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

【问题一：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明。

五、讲练结合，巩固概念

【例：】用数学归纳法证明135...(2n1)n2

证明：（1）当n1时，左边1，右边1，等式成立；(2)假设nk(kN*)时等式成立，即：135（2k1）k2则当nk1时，左边135（2k1）[1(2k1)](k1)2(k1)2右边nk1时等式成立根据（1）和（2），可知等式对nN*都成立。

【问题二：】在证明过程中，发现有的同学是如下这样证明的：他的做法对吗？

证明: (1)当n1时，左边=1，右边=1，则等式成立；

(2)假设nk时，等式成立，即135...(2k1)k2，

则当nk1时，有

135...(2k1)1(2k1)(k1)

2即当nk1时，等式也成立，

nN*,等式成立。

错因：第k+1步的结论不是以第k步为条件得出的，证明过程中没有用到第二步的归纳递推，因此得到的结果未必正确。

改正：

nk1时，有

135...(2k1)135...(2k1)(2k1)

k2(2k1)

(k1)2

即当nk1时，等式也成立。

【设计意图：】本题考查数学归纳法的证明过程。首先，教师将一道题目用数学归纳法完整的证明出来；然后再让学生当“小老师”，寻找另外一种证明过程中的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识，“先正后反”有助于学生全面认识数学归纳法。

【练习】用数学归纳法证明：122232...n2n(n1)(2n1)6(nN*)

1(11)(21)1

6

证明：(1)当n1时，左边：121，右边：

左边=右边，等式成立。

(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即122232...k2k(k1)(2k1)6(kN*)

(kN*)时，

则当nk12）

左边122232...k2（k1

k(k1)(2k1)62

（k1）

(k1)(k2)(2k3)(nN*)=右边

6

即当nk1时，等式也成立

nN*等式成立。

【设计意图：】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式——正整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。

六、回顾总结，反思提高

(1) 数学知识：数学归纳法——两个步骤一个结论；

(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；

(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。

七、分层作业

2.3 数学归纳法课后练习题

一、选择题

①用数学归纳法证明等式123(n3)(n3)(n4)(nN*)2时，

第一步验证n=1时，左边应取的项是（D）

Ａ．1

Ｂ.1+2

Ｃ.1+2+3

Ｄ.1+2+3+4

【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳奠基”这一步，让学生能正确判断，n取初始值时等式左边的项有哪些，而未必一项。本题是属于基础题，必做题。

②用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n123(2n1)时，从k到k+1时，左端需增乘的代数式为（

B ）

2k12k3A．2k1

B．2(2k1)

C．k1

D．k1

【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳递推”这一步，训练学生寻找第k步与第k+1步之间的关系

，必做题。

二、填空题

③用数学归纳法证明3nn3时，第一步应验证

答案：n=3时，不等式是否成立

【命题意图：】考查数学归纳法的第一步，必做题。

④已知f(n)1111...(nN*)，用数学归纳法证明23nf(2n)nk1k2时，

f(2)f(2)

111...kk2k1

答案：2122【命题意图：】考查学生寻找数学归纳法的证明过程中第K步与第K+1步的关系并且使学生发现，由第k步到第k+1步之间未必只有一项，必做题。

三、解答题

⑤用数学归纳法证明：1111n...133557(2n1)(2n1)2n1

【命题意图：】考查数学归纳法的证明过程，必做题。

⑥由下列不等式：112，

112，

2321113...2372，

111...22315，

1

1

1你能猜想一个怎样的结论？并加以证明。

【命题意图：】本题首先考查了之前学过的知识“归纳推理”，让学生体验从“特殊到一般”的思维过程。引导学生先大胆猜想，然后按照猜想的方向，用数学归纳法，大胆的尝试证明。让学生在解题中充分的体验“归纳—猜想—证明”的乐趣，体会成功的喜悦！属于提高题，选做题。

八、板书设计

2、3数学归纳法

数学归纳法：

【练】

课堂小结：（1）、、、

【例】

证明：（学生板演）

（2）、、、

证明：

（3）、、、