1.3 实习作业优秀教案案例

解斜三角形专题复习

教学目标：

1、

熟练解斜三角形的两定理和相互转换；

2、

通过一题多解培养学生的思维能力；并让学生感受不同解法的思维量和运算量的不同。

教学设计：

1、考情分析：

解三角形是高考的必考知识点。分析近几年的高考试题可以发现以下特点：

一是：总体而言难度适中；

二是：单独使用正弦定理和余弦定理求解的题目较少；

三是：大多数题目入手比较容易，但求解过程中对计算能力、思维能力的要求比较高；

四是：客观题解法多样化特点比较明显；

五是：正余弦定理和三角恒等变换综合的题目在解三角形的题目中所占的比例较大。

2、典例分析：

例1：（2016年高考数学全国卷3第8题）在ABC中，B上的高等于BC,则cosA()

A.3101010310

B.

C.

D 

10101010，BC边4A 13B D C 分析：要求cosA很容易联想到余弦定理，利用已知

B=

和BC边上的高等于BC求边的关系即可。

解法1：设AD=x,BD=x,AB=

,DC=2x,则:在 中，AC=

x。

因此，在 中cosA=

= —

此解法可知，已知三角形的边长关系，就可以用余弦定理求出角的函数值。解法一解完后，许多学生知道线段AD的长度是任意取的，因此当我问同学们还有别的解法时，大家一口同声地说可以取特殊值。

解法2：设AD=1,BD=1,AB=

,DC=2,则在 中，AC=

因此，在 中cosA=

= —

这种解法就是我们一般所说的一般问题特殊化。问题特殊化在解决选填题时可以提高解题的速度和准确度，从而减少解题时的“隐形失分”。

在ABC中，因为

ABC，所以

cosAcos((BC))

cos(BC)(cosBcosCsinBsinC)。由此可见，求角A的余弦值可以转化为求角B和角C的正余弦值。

解法3：在RTACD中，可得cosC25,sinC15

A cosAcos(BC)sinBsinCcosBcosC101021222255

B D C 由解法3可知，求角A的余弦值可以利用诱导公式和两角和差公式转化成其它的角的三角函数值来表示。角A除了能

转化成(BC)，也可转化成BADCAD。

解法4：在RTABD和RTACD中，

B D C A

在RTABD中，B,BAD44

15在RTACD中，可得cosC25,sinC

1010cos

Acos(BADCAD)cos(4CAD)前四种解法是应用余弦定理或者应用诱导公式和两角和差公式得出余弦值。解斜三角形除了应用余弦定理，还可以用正弦定理求解。

解法5：在RTACD中，可得cosCsin

Asin(BC)sin(25,sinC15

A 4C)31010B D C C(0,),sinC20BC15sin42,C(0,)

242,

即

10A，

故

cosA1sin2A

210由此可见，解斜三角形中正余弦定理可以应用诱导公式相互转化的。这也是解斜三角形中常见的一种解法。推而广之，学生需要熟练运用以下结论：

sinAsin(BC),sinBsin(AC),sinCsin(AB)

cosAcos(BC),cosBcos(AC),cosCcos(AB)

在解决选择题时可以利用数形结合的思想，通过图形判断出A的范围，进而利用三角函数的性质，结合选项所给答案得出正确的选项。

解法6：由已知题意得：

A(BC)33C，又0C，A，

4224即

1023102

cosA0

，由选项知：102102

故选C。

练习：在ABC中，A2,a3c，则b 3c解法1：（余弦定理）解略

解法2：（特值法）解略

解法3：（正弦定理）解略

例2：（2016年四川卷）在ABC中，角A，B，C所对的边分

别是a,b,c,且cosAcosBsinC；

abc（1）

证明：sinAsinBsinC；

65cosAcosBsinC解：（1）由得

abccoAscoBssCin1siBn(A)sAinBsinCsinA

sBin

sinAsiBnsCin34cosA11

（2）由题意得cosA,sinA，由（1）知：55sinAtanB（2）

若b2c2a2bc，求tanB

sin得tanB4

3、课堂小测：

1）

已知a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，求角A的大小。

CBD2）

在ABD中，C在AD上，AD=3AC，且B，求角A的最大值。

，求ABC的周长。

a21ocsocB,C3a3）

在ABC的面积为，若s63sinA4、课堂小结：

1）正弦定理、余弦定理的基本运用方法；

2）正余弦定理的综合应用；

3）在选填题注意优化解题运算；

4）学会了数形结合思想和特值法解题。