阅读与思考 九连环公开课教案（教学设计）

《九连环》教案

------------张翀

（一）教学目标：

知识与技能：

（1）理解用化归、递推、归纳、建模等思想解决九连环计数问题的方法；

（2）能在具体问题情景中发现数列的递推关系。

过程与方法：

（1）经历动手操作、探索规则、提出问题、建立模型、解决问题、方法应用的学习过程；

（2）体会求解过程中的化归、递推、归纳、建模等思想方法。

情感态度价值观：

（1）通过了解九连环的历史，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；

（2）通过学生课前、课内、课后自主、合作探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神；

（3）通过九连环计数数列使学生感受到数列是反映现实生活的数学模型，体会数学源于实践并应用于实践。

（二）教学重难点：

重点：从生活中发现问题并借助数学模型解决问题；

难点：从解九连环的过程中建立递推关系。

（三）教学过程：

介绍历史，引入新课

在《红楼梦》第七回中，就有大观园中小姐们玩九连环的描写，……周瑞家的奉薛姨妈之命，送一些宫制的堆纱假花给园子里的姑娘们，每人两朵。找黛玉时，“谁知此时黛玉不在自己房中，却在宝玉房中大家解九连环玩呢”。

创建于十九世纪中期的法国油画《中国游戏》中呈现了九连环的形状。

九连环产生在古代中国，这已为世界所公认，宋代（公元960－1279）已经流行，至今已有800多年的历史。九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷。

研究连环，找出规律

九个大小相同的圆环（一般由较粗的铁丝制成），依次排开，每一个圆环上都连有一个较细的铁丝直杆，各直杆在后一个圆环内穿过。九个直杆的另一端都插在一个木板的一排小孔里。直杆的末端都弯成一个小圈（或连接一个小球），使它们能在小孔里上下移动，但不会脱出。另外有一个粗铁丝做成的框架，圆环可以从框架上解下或套上。

玩九连环就是要把这九个圆环全部从框架上解下或套上，但无论是解下还是套上圆环，都要遵循一定的规则。

九连环的每个环互相制约，只有第一环能够自由上下。要想下/上第n个环，就必须满足两个条件（第一个环除外）：

(1)第n1个环在架上；

(2)第n1个环前面的n2个环都不在架上。

解开九连环的规则：后一个环要上或下，则它的前面有且只有一个与它相邻的环。

提出问题，合作研讨

思考：按照这个规则解开九连环，最少需要上下移动圆环多少次呢？

我们不妨考虑n个圆环的情况。用K(n)表示解下前n个圆环所需的最少上下移动次数。再用k(n)表示前n1个圆环都已经解下后，再解下或套上第n个圆环所需的最少上下移动次数。

请同学们小组合作，借助教具，一起完成表格第二行至第六行：

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 ……

n

探究规律，解决问题

归纳k(n)得k(n)21

分析k(n)的规律得k(n)2k(n1)1

nk(n) 1 3 7 15 31 ……

？

K(n) 1 2 5 10 21 ……

？

思考：某位同学前8环都已经解下，架上只剩第9环，问：是否只差一步之遥？

答：

k(9)2915121511

思考：我们是否能分析出K(n)的递推关系呢？

通过分析解九连环的过程得出：

递推关系：K(n)k(1)k(2)k(n)；错误（因为最少）

递推关系：K(n)K(n2)1k(n1)；正确

利用递推关系解决“解开九连环，最少需要上下移动圆环多少次呢？”

K(3)=K(1)+1+k(2)=1+1+3=5 K(5)=K(3)+1+k(4)=5+1+15=21 K(7)=K(5)+1+k(6)=21+1+63=85 K(9)=K(7)+1+k(8)=85+1+255=341 共计341步。

发散思维，布置作业

请你分别由k(n)和K(n)的递推关系推导出各自的通项公式，完成表格第八行。

（四）板书设计

九连环

k(n)2n1

k(n)2k(n1)1

PPT K(n)K(n2)1k(n1)

K(9)=K(7)+1+k(8)=85+1+255=341 K(7)=K(5)+1+k(6)=21+1+63=85 K(5)=K(3)+1+k(4)=5+1+15=21 K(3)=K(1)+1+k(2)=1+1+3=5

附：解九连环的益处

连环类玩具有三大特点：

1.挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。

2.规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。

3.趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。

苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，青少年更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。

因此解九连环能锻炼学生的迁移能力与逻辑推理能力，培养学生注意力、耐心、和信心，培养学生的好奇、好问、好思、好学的好习惯。