探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大名师课堂实录

人民教育出版社A版

高三(选修2-3)

《探究与发现

服从二项分布的随机变量取何值时概率最大》

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教材分析

在结束二项分布及期望的基础上继续深化学习，使学生深刻体会二项分布与实际生活的联系。

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教学目标

【知识与能力目标】①运用二项分布解决和计算实际问题；②提高利用二项分布解决问题的能力；③通过二项分布解决实际问题的探究学习，经历数学探究活动过程，培养探索精神和创新意识。

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【过程与方法目标】

通过

自

主

合

作

学

习，融

合

基

础

知

识

与

思

想

方

法，完成数学知识的实际应用。

【情感态度价值观目标】

通过学生讲解，增

强

学

习

的

自

信

心，增

强

学

生

敢

于

超

越

的

自

我

激

励

与

竞

争进取的意志品质。

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教学重难点

【教学重点】

如何将实际问题转化为数学问题。

【教学难点】

如何将实际问题转化为数学问题。

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课前准备

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与教材内容相关的资料。

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教学过程

一、复习引入：

12独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个kk事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)nk．

二、讲解范例：

例1．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1，求1小时内5台机床4中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）

解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验

13441141(1)C(1)，

1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5544551小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)(1)()，

所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

P1P5(0)P5(1)0.37

答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．

点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法

例2．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于

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0.75，至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次

记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)0.25．

∵射击n次相当于n次独立重复试验，

n∴事件A至少发生1次的概率为P1Pn(0)10.75．

13n1由题意，令10.75n0.75，∴()，∴n44.82，

344lg4lg∴n至少取5．

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次

例3．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次

∴从低层到顶层停不少于3次的概率

113131651514919PC9()()C94()4()5C9()()C9()

22222221191923335990129(C9C94C9C9)()92(CCC)()(246)()

999222256k1k19kk19设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()C9()，

222k19k∴当k4或k5时，C9最大，即C9()最大，

2233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．

256例4．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．

（2）按比赛规则甲获胜的概率．

解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为11，乙获胜的概率为．

22记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，

记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜

33∴甲打完3局取胜的概率为P(A)C3()121．

8②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负

22∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C3()12113．

2216③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负

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1113．

22216(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，

又因为事件A、B、C彼此互斥，

1331．

故P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为．

2222∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C4()()例5．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg20.3010）

解：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)0.8，P(A)10.80.2，

（1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．

∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则

00nnP(B)Pn(0)Cn0.8(10.8)0.2．

∴P(B)1P(B)10.2n．

n由题意，令P(B)98%，所以0.20.02，两边取常用对数得，

nlg0.2lg0.02．即n(lg21)lg22，

∴nlg221.69902.43，且nN，所以取n3．

lg210.6990答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．

（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，

2∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为PC30.820.20.384，

答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384

三、课堂练习：

1．每次试验的成功率为p(0p1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）

3333(A)C10p(1p)7 (B)C10p(1p)3 (C)p3(1p)7 (D)p7(1p)3

2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）

133A72A3

(A)C0.70.3 (B)C0.70.3 (C) (D)310A1031021323．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，

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则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）

3112A3A32A2A3A2 (A)13 (B)

33A5A5A5332321()1()2

(C)1()3 (D)C32()2()C3555554．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

323233323231()() (D)C4()()

(A)C32()3 (B)C32()2() (C)C4555355335．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）

6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．

7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为80，则此射手的81命中率为 ．

8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有3一台处于停车的概率

9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：

⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；

⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率

10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为80，试求在一次试验中81事件A发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1，求在第n次才击中目标的概率

33答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.046 2317. 8.（1）P53C53321124052（2）

PB1PB1C53243324325559.⑴C50.950.59049； ⑵C50.150.00001； ⑶P53C50.90.10.0729； ⑷PP54P550.91854

33210.(1) P212n1 (2) P()

333五、小结

：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生

2．如果1次试验中某事件发生的概率是P，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次kk的概率为Pn(k)CnP(1P)nk

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六、课后作业：

练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B组2、3

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教学反思

略。