阅读与思考 九连环公开课教学设计模版

教学设计等比数列

执教人：李 堃

课

题：等比数列

素质教育目标：

一、知识教学点

掌握等比数列的定义和通项公式，发现等比数列的性质，会用通项公式求有关元素：an,n,q,a1等并能解决某些实际问题

二、能力训练点

培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力〈即归纳，猜想〉

三、学科渗透点

理论与实际相结合，数学与生产科研

四、美育渗透点

等差，等比的相似美，结构美

教学重点：等比的数列的定义和通项公式；解决方法：归纳类比，不完全归纳法

教学难点：等比数列的性质，方法，类比等差数列的性质；发现法

教学用具

：多媒体课件一套

教学方法：发现式教学法，类比分析法

教学过程：

一．导入新课

①

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”

②

一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它爬上月球. 我们来分析这两个实例所包涵的数学问题是什么. 对于①

“一尺之棰，日取其半”所得到的是一个什么样的数列呢？

1111,,,,242n1,

对于②对折报纸若干次所得报纸的层数构成的数列是：

2,4,8,,2n,

以上这两个数列有何特点？从第2项起，每一项与它的前一项的比是一个常数，也就是说他们具有等比. 二．新课教学

1．

等比数列的定义

定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么

这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做数列的公比，公比通常用字母q表示q0. 注意：1)〈提问：〉我们知道在等差数列中公差dR，那为什么等比数列中公比q0呢？

2)文字叙述的定义可改成式子叙述：一个数列an，若an1qnN*

则称数列anan为等比数列，今后我们常用nN时*an1是否为非零常数去判断数列an是否为等比数an列. 3)〈提问〉我们知道存在常数列为等差数列，那么存在常数列是等比数列吗？

在等差数列中研究过数列的通项公式，那等比数列中的通项公式是什么呢？

2．

通项公式

与等差数列类似，我们寻求用等比数列的基本量a1,q,n来表示an.根据等比数列定义知当nN*时an1q所以an1qannN*

an这样可求得：a2a1q

a3a2qa1qqa1q2

a4a3qa1q2qa1q3

…

…

…

类似可得一般的表示式：ana1qn1n2

特别当n1时，等式两边均为a1，符合上面等式

所以，等比数列的通项公式为：ana1qn1nN*

注意：1)当q0，各项与首项同号，当q0，各项的符号正负相间

2)我们由等比数列的通项公式ana1qn1nN*，可推得变通公式为：

a1ananann1q

n1logqn1a1a1q即对于公式中四个量〈首项a1，公比q，第n项an，序号n〉可“知三求一”. 3)将通项公式可变形为ana1qn1a1na1qcqn令c0：

qq当q1时,ana1, 点n,an为分布在直线ya1上的一群孤立点;

当q1时,点n,an为分布在函数ycqx的图像上的一群孤立点. 3.等比数列的简单性质

①

已知等比数列a1,a2,,an, 数列an,an1,,a2,a1，仍为等比列数列. ②

an是等比数列，c是不等于0的常数，那么数列can是等比数列. ③

对于等比数列an中取出其中一部分连续项构成的数列也是等比数列，

例如：a4,a5,a6,,a21,a22是等比数列。

④

在an中取间隔相等项组成的数列，也是等比数列（即序号成等差数列的项仍是等比数列）

例如：a1,a3,a5,a7,,a2n1,是等比数列

⑤

等比数列an对于任意n,mN*，都有anamqnm

⑥

等比数列an，若mnpq，m,n,p,qN*则amanapaq

特别对有穷等比数列an有a1ana2an1a3an2

即“与首尾两端等距离的项之积相等”

4、例题讲解. 例1：我国杂交水稻之父—袁隆平在培育水稻新品种时，培育出第一代得到120粒种子，并且以第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒〈保留两个有效数字〉？

解：由于每代的种子数是它的前一代的种子数的120倍，逐代的种子数组成等比数列，记为an，其中a1120,q120,因此，

a5120120512.51010

答：到第5代大约可以得到种子2.510粒. 例2：已知由三个正数组成的等比数列，它们的和为21，其倒数和为解：设此三数分别为a1,a1q,a1q

2107，求这个数列. 12a11qq2211qq27117

(2)可变形为

由题意得1

(3) 212a1q2aaq12aq111

1得：

aq6

，又aq0

则aq6

1113

a13

代入后解得

或

q2a1121

q2

所以此数列分别为3,6,12或12,6,3. 例3：已知an,bn是项数相同的等比数列, 求证anbn是等比数列. 证明：设数列an的首项为a1，公比为p；bn的首项为b1，公比为q，那么数列anbn的第n项与第n1项分别为a1pn1b1qn1与a1pnb1qn，即为a1b1pq为

n1与a1b1pq，因nan1bn1abpq11pq

n1anbna1b1pqn它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以pq为公比的等比数列. 三、课堂练习

1.求下面等比数列的第4项与第5项：

⑴5,15,45,

； ⑵1.2,2.4,4.8,

；

⑶2132,,,

； ⑷2,1,, . 32822.

等比数列an中，a1a230

，

a3a460，则a7a8____. 3.有四个数成等差数列，如果将此四个数分别加上1,1,4,13

，则成等比数列，则这四个数依次为____. 4.(思考题)已知数列lgan成等差数列，求证an成等比数列.

（引申提问）lgan成等差数列an成等比数列.反之成立吗？

四、课堂总结

anq (n2,q0)

⑴等比数列的定义，即an1⑵等比数列的通项公式ana1qn1nN*，及其推导过程

五、课外作业

习题3.4：1，2，3