复习参考题教学实录及点评

数学数列部分知识点梳理

一数列的概念 1）数列的前n项和与通项的公式①Sna1a2an；

anS1(n1)SnSn1(n2)

2）数列的分类：①递增数列:对于任何nN,均有an1an.②递减数列:对于任何nN,均有an1an.③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,.④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M使anM,nN.⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得anM. 一、等差数列

1）通项公式ana1(n1)d，a1为首项，d为公差。前n项和公式Snn(a1an)或21n(n1)d. 22）等差中项：2Aab。

Snna13）等差数列的判定方法：⑴定义法：an1and（nN，d是常数）an是等差数列；⑵中项法：2an1anan2(nN)an是等差数列. 4）等差数列的性质：

⑴数列an是等差数列，则数列anp、pan（p是常数）都是等差数列；

⑵在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即⑶anam(nm)d；ananb(a,b是常数)；Snan2bn(a,b是常数，an,ank,an2k,an3k,为等差数列，公差为kd. a0) ⑷若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

Sn是等差数列；

nSa⑹当项数为2n(nN)，则S偶S奇nd,偶n1；

S奇an⑸若等差数列an的前n项和Sn，则S偶n1

当项数为2n1(nN)，则S奇S偶an,. S奇n

(7)设

(8)设则有

(9) ；

是等差数列的前项和，则；

，公差为，前项和为；

，则

是等差数列，则，（是常数）是公差为，的等差数列；

，

(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列

①．为等差数列，公差为

②．）为等差数列，公差； （即

③．（即）为等差数列，公差为.

二、等比数列

1）通项公式：ana1qn1，a1为首项，q为公比

。前n项和公式：①当q1时，Snna1a1(1qn)a1anq②当q1时，Sn. 1q1q2）等比中项：G2ab。3）等比数列的判定方法：⑴定义法：2；

an1q（nN，q0是常数）an是等比an数列；⑵中项法：an1anan2(nN)且an0an是等比数列. 4）等比数列的性质：

⑴数列an是等比数列，则数列pan、pan（q0是常数）都是等比数列；

nmaaq(n,mN)

nm

（2）

（3）若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；

（4）若等比数列an的前n项和Sn，则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.

（5）设

（6）设，是等比数列，则也是等比数列。

则也是等比数列（即等比数是等比数列，是等差数列，且列中等距离分离出的子数列仍为等比数列）；

（7）设

（8）设则有；

，公比为；

（即；

）为，前项和为，则

是正项等比数列，则，是等差数列；

，，

（9）其他衍生等比数列：若已知等比数列

①．

②．等比数列，公比为为等比数列，公比为三、解题技巧：

A、数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果an等差，bn等比，那么anbn叫做差比数列）

即把每一项都乘以bn的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适11用于数列（其中an等差）。可裂项为：和aaaann1n1n111111()，(an1an)

anan1danan1anan1dB、等差数列前n项和的最值问题：

1、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最大值。

（ⅰ）若已知通项an，则Sn最大an0；

an10q的非零自然数时Sn最大；

2p（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近2、若等差数列an的首项a10，公差d0，则前n项和Sn有最小值

（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小an0；

a0n1q的非零自然数时Sn最小；

2p（ⅱ）若已知Snpn2qn，则当n取最靠近C、根据递推公式求通项：

1、构造法：

1°递推关系形如“an1panq”，利用待定系数法求解

2°递推关系形如“，两边同除pn1

【例题】已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式. 或待定系数法求解

【例题】a11,an12an3n，求数列an的通项公式.

3°递推已知数列an中，关系形如“an2pan1qan”，利用待定系数法求解

4°递推关系形如"anpan1qanan,两边同除以anan1

（1p,q0)

【例题】数列an中，a12,an1

【例题】已知数列an中，a11,a22,an23an12an，求数列an的通项公式.

【例题】已知数列an中，anan12ananan的通项公式. （1n2),a12，求数列2an(nN)，求数列an的通项公式. 4an2、迭代法：

a、⑴已知关系式an1anf(n)，可利用迭加法或迭代法；

an(anan1)(an1an2)(an2an3)(a2a1)a1

【例题】已知数列an中，a12,anan12n1(n2)，求数列an的通项公式

aaaaa

b、已知关系式an1anf(n)，可利用迭乘法.annn1n232a1an1an2an3a2a1

an1【例题】已知数列an满足：n(n2),a12，求求数列an的通项公式；

an1n13、给出关于Sn和am的关系

【例题】设数列an的前n项和为Sn，已知a1a,an1Sn3n(nN)，设bnSn3n，

求数列bn的通项公式．

五、典型例题：

A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）

1）根据基本量求解（方程的思想）

【例题】已知Sn为等差数列an的前n项和，a49,a96,Sn63，求n；

2）根据数列的性质求解（整体思想）

【例题】已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54，S2n60，则S3n

. B、求数列通项公式（参考前面根据递推公式求通项部分）

C、证明数列是等差或等比数列

1)证明数列等差

【例题】已知Sn为等差数列an的前n项和，bnSn(nN).求证：数列bn是等差数n列. 2）证明数列等比

【例题】数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，若an+Sn=n.设cn=an－1，求证：数列{cn}是等比数列；

D、求数列的前n项和

【例题1】求数列{2n2n3}的前n项和Sn.（拆项求和法）

【例题2】求和：S=1+111（裂项相消法）

12123123nx211【例题3】设f(x)，求：⑴f(14)f(3)f(2)f(2)f(3)f(4)；

21x111

⑵f(2010)f(2009)f(1)f(2010).3)f(2)f(2)f(2009倒序相加（法

）【例题4】若数列an的通项an(2n1)3n，求此数列的前n项和Sn.（错位相减法）

【例题5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn. E、数列单调性最值问题

【例题】数列an中，an2n49，当数列an的前n项和Sn取得最小值时，n

练习

1数列{an}满足a12，anan110，(n∈N)，则此数列的通项an等于 ( ) A n21

B

n1

C

1n

D

3n

2个数a,b,c，既是等差数列，又是等比数列，则a,b,c间的关系为 ( ) A bacb

B

b2ac

C

abc

D

abc0

3差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和是(

) A

130

B

170

C

210

D

260 14差数列an中，已知a1,a2a54,an33，则n为（

）. 3

A

48

B 49

C

50

D

51 1aaaa5知等比数列{an}的公比q,则1357等于(

) 3a2a4a6a811A 

B 3

C

D 3

336各项都为正数的等比数列an中，若a5a69,则log3a1log3a2（

）. log3a10A

12

B

10

C

8

D

2lo3g

57 和81之间插入两个正数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则这两个数的和等于（

）.

A

80

B

70

C

18

D

16 8两各等差数列{an}、{bn}前n项和分别为An、Bn，满足a11的值为（

）

b11An7n1(nN)，Bn4n27则A

73478

B

C

D

423719Sn是等差数列an的前n项和，S636,Sn324,Sn6144(n6)，则n等于（

）.

A

15

B

16

C

17

D

18 111110列1,3,5,7,,前n项和为（ ）

248161111A

n2n1

B

n2n1

C

n2nn1 2222

Dn2n11

2n2

二、填空题：（每小题4分，共16分）

11等比数列an中，a66,a99，那么a3_________. 12差数列an共有2n1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则中间项为_______. 13差数列an前n项和为Sn，已知a113,S3S11,n为________时，Sn最大. 14列an的前n项的和Sn2n2n1，则an

三、解答题

15(本小题满分8分) 在等比数列an中，a1a2a327，a2a430

试求：（I）a1和公比q；（II）前6项的和S6.

16(本小题满分8分) 求和

12x3x2

17(本小题满分9分) 已知数列{an}的前n项和Snn248n

(1)求数列的通项公式; (2)求Sn的最大或最小值.

18(本小题满分9分) 某城市1995年底人口总数为500万,人均住房面积为6平方米,如果该市每年人口的平均增长率为1%.而每年平均新建住房面积为30万平方米.那么到2005年年底,该市的人均住房面积数约为多少?(精确到0.01平方米) nxn1

参考答案

一、选择题

题号

1 答案

D

二、填空题：

2 D 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 C 9 D 10 A 2n111、4

12、29

13、7

14、an

4n3n2三、解答题

15、(本小题满分8分) 解：（I）在等比数列an中，由已知可得：

2a1a1qa1q27

3a1qa1q30

a11a11解得：

或

q3q3a1(1qn)

（II）Sn

1q

a111(136)136364

时，

S6当132q3a11(1)[1(3)6]361182

当时，S6134q3解：当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=16、(本小题满分8分) n(1n)

2

当x≠1时，Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1

①

xSn=

x+2x2+…+(n-1) xn-1+nxn

②

23

①-②: (1-x)

Sn=1xxx

xn11xnnx=nxn

1xn1(n1)xnnxn1

Sn=

2(1x)17、解(1)a1S11248147

当n2时 anSnSn1n248n[(n1)248(n1)]

2n49 a1也适合上式

an2n49 (nN) (2)a149,d2,所以Sn有最小值

an2n49011由得23n24 22an12(n1)490又nN n24 即Sn最小

S2424(47)24232576 2或:由Snn248n(n24)2576

当n24时,Sn取得最小值-576.

18、解:依题意

1995年共有住房面积为65003000(万平方米) 从1995年开始,各年住房面积是以首项a13000,公差d30的等差数列

所以到2005年底,该市共有住房面积为

300010303300(万平方米) 又从1995年开始,人口数组成首项b1500,公比q1.01的等比数列

所以到2005年底该市人口数为

5001.0110552.31(万人) 故2005年底人均住房面积为

33005.97(平方米) 552.31