1.3 二项式定理（通用）优质课教案设计

【课题】

3．2

二项式定理

【教学目标】

知识目标：

了解二项式定理的概念，二项式展开式的特征及其通项公式．

能力目标：

学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．

【教学重点】

通项公式．

【教学难点】

通项公式的应用．

【教学设计】

从分析(ab)4展开式的计算入手，引入二项式定理．教学要求是了解二项式定理的概念，二项式展开式的特征及其通项公式．结合引例，介绍二项展开式的特征：（1）展开式共有n1项；（2）各项的次数都是n，及a与b的指数和为n；并且，第一个字母a依照降幂12顺序，第二个字母b依照升幂顺序；（3）各项的系数依次为C0n,Cn,Cn,n．例1是写成,Cn展开式的训练题，基本方法是求出对应的二项式系数，依照规律，顺次书写．例2与例3都是通项公式的应用问题．其基本思路都是利用已知条件，寻求字母的指数满足的条件，得到等式，确定m的值．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

3．2

二项式定理．

*创设情境

兴趣导入

我们知道，如果a,b是任意实数，那么

（ab)2a22abb2，教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

了解

0

第3章

概率与统计（教案）

教

学

过

程

（ab)a3ab3abb．下面计算

（ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)．显然，计算结果中的各项都是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为

33223教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

播放

课件

质疑

观看

课件

思考

引导

启发学生得出结果

15

a，ab，ab，ab，b

0在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，432234所以a4的系数是C0恰有1个取b的情况有C1所以a3b4；4种，的系数是C1恰有2个取b的情况有C2所以a2b2的系数4；4种，333是C2；恰有3个取b的情况有种，所以的系数是CabC444；44恰有4个取b的情况有C4

4种，所以b的系数是C4．因此

4132223344

（ab)4C04aC4abC4abC4abC4b．*动脑思考

探索新知

利用这种方法可以得到二项式定理：

设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则

n1n1nmmn(ab)nC0bCmbCn(3.7)

naCnananb　　

公式（3．7）右边的多项式叫(ab)n的二项展开式，共

总结

思考

归纳

有n+1项，其中每一项的系数Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的

nmm二项式系数，第m+1项Cmb叫做二项式的通项．记作

na

由公式可以看出，二项展开式的通项为

Tm1，

mnmm

Tm1=Cnab　　(3.8)

由二项式定理可以得到：

(ab)1…………

1

1

引导学生发现解决

第3章

概率与统计（教案）

教

学

过

程

2教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

理解

记忆

问题方法

30

(ab)…………

1

2

1

3(ab)…………

1

3

3

1

4(ab)…………

1

4

6

4

1

5(ab)…………

1

5

10

10

5

1

……

……

上述二项式系数列成的表，称为杨辉三角．

是我国宋朝时

的数学家杨辉于1261年所著《详解九章算法》中列出的图表．

可以看出二项式系数具有下列性质：

分析

（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个关键

数的和；

词语

（2）每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等；

（3）如果二项式(ab)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等．

*巩固知识

典型例题

例1

写出（ab)5的展开式．

04235

解

由于C51，C1，C5C510，C51．5C55

引领

讲解

说明

引领

讲解

说明

引领

观察

思考

主动

求解

观察

思考

主动

求解

观察

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

所以

0542323234455（ab)5C5aC15abC5abC5abC5abC5ba5ab10ab10ab5abb．例2

求（x2)9的二项展开式中x6的系数．

解

（x2)9的展开式的通项公式为

Tm1C9xm9mm(2)mC9(1)m2mx9m

54322345

由9－m=6,得m＝3．即二项展开式中含x6的项为第4项．故这一项的系数是

987C(1)2(8)672．

3213933【说明】

要区别二项展开式中，某项的二项式系数与这一项的系

第3章

概率与统计（教案）

教

学

过

程

数，它们是两个不同的概念．如本例中第4项为393其二项式系数是C3而第4项的系数T4C9x(2)3，；984教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

分析

说明

引领

讲解

说明

提问

巡视

指导

思考

理解

思考

主动

求解

动手

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

25是指x的系数C(2)=-672．

例3

求(x6393110)的二项展开式的常数项．

xm1010m10mm1mm

()C10x22，x解

由于Tm1C（x）

10mm0．故

2

学生

自我

发现

归纳

解得

m=5．

所以二项式展开式中第5项是常数项，为

109876C252．

54321510【说明】

首先求出公式中字母m的取值，从而确定要求的是哪一项，最后根据公式写出该项，是解决这类问题的一般方法．

*运用知识

强化练习

1．

用二项式定理展开下列各式：

50

65 16（1）(1x)；（2）(x)；

x8（3）(2ab)5；（4）(x24)．

2x

2．求(a3b)7的展开式的第4项及含有ab的项．

质疑

归纳nmmCmbnan

Cnnb*理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

二项式定理的内容是什么？

结论：

n1n1(ab)nC0bnaCna

回答

理解

强化

回忆

师生共同归纳强调重点

强调

引导

70

75

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

培养

第3章

概率与统计（教案）

教

学

过

程

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

求(x2y)的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的二项式系数与系数．

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题3．2（必做）；学习指导3．2（选做）

(3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题

【教师教学后记】

项目

10教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

提问

巡视

指导

说明

反思

动手

求解

记录

反思学习过程的能力

分层次要求

85

90 反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

思维是否有条理、灵活；

学生思维情况

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

学生实践的情况

能否根据问题合理地进行实践；

第3章

概率与统计（教案）

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

第3章

概率与统计（教案）