小结优质课教案整理

课题：基本不等式及其应用

三维目标：

一、知识与技能

1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

二、过程与方法

１、自主学习，通过教师和同学的对话体验，增进交流。

２、分析高考例题，探求规律，掌握解题思路。

三、情感态度价值观

深入体验用基本不等式解决简单的最大(小)值问题的过程。

教学重点

分析高考例题，探求规律，掌握解题思路，并加强备考方法的指导，强化基础训练。

教学难点

分析高考例题，探求规律，掌握解题思路 教学方法

讲练结合，重点拨，重归纳。

自主梳理

a＋b1．基本不等式ab≤

2(1)基本不等式成立的条件：____________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥________ (a，b∈R)．

ba(2)＋≥____(a，b同号)．

aba＋b2(3)ab≤2 (a，b∈R)．

a2＋b2a＋b2(4)2____2.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：________________________________________________. - 1 -

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________(简记：积定和最小)．

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________(简记：和定积最大)．

自我检测

a2＋b21．“a>b>0”是“ab<”的(

) 2A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

1xa＋b，B＝f(ab)，C2．(2011·南平月考)已知函数f(x)＝，a、b∈(0，＋∞)，A＝f222ab＝fa＋b，则A、B、C的大小关系是(

) A．A≤B≤C

B．A≤C≤B

C．B≤C≤A

D．C≤B≤A

3．下列函数中，最小值为4的函数是(

) 4A．y＝x＋

x4B．y＝sin x＋(0

D．y＝log3x＋logx81 14．(2011·大连月考)设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)有最________值为________．

xx5．(2010·山东)若对任意x>0，2≤a恒成立，则a的取值范围为x＋3x＋1________________．

典例讲解: 探究点一

利用基本不等式求最值

19例1

(1)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值；

xy51(2)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；

44x－5

(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

14变式迁移1

(2011·重庆)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(

) ab79A.

B．4

C.

D．5 22- 2 -

探究点二

基本不等式在证明不等式中的应用

11例2

已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋)(1＋)≥9. ab

变式迁移2

已知x>0，y>0，z>0. yzxzxy求证：x＋xy＋yz＋z≥8.

探究点三

基本不等式的实际应用

例3

(2011·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．

(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；

(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？

购地总费用(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 建筑总面积

变式迁移3

(2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．

(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

- 3 -

课堂小结：

a＋bba1．a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立；≥ab成立的条件是a，b∈R＋；＋≥2成立2ab的条件是ab>0，即a，b同号．

2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．

b3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y＝ax＋，x当a>0，b<0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a<0，b>0时，函数在(－∞，0)，bb(0，＋∞)上是减函数；当a>0，b>0时函数在－上是减函数，在，0，0，

aa－∞，－b，b，＋∞上是增函数；当a<0，b<0时，可作如下变形：y＝－aa－－b来解决最值问题．

＋x作业与练习: 见后面

教学反思：

作业与练习:

姓名：

得分

(满分：75分) - 4 -

一、选择题(每小题5分，共25分) 111．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(

) ab1A．8

B．4

C．1

D.

41a2．(2011·鞍山月考)已知不等式(x＋y)x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(

) A．2

B．4

C．6

D．8 113．已知a>0，b>0，则＋＋2ab的最小值是(

) abA．2

B．22

C．4

D．5 4．一批货物随17列货车从A市以a km/h的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长400 a2km，为了安全，两列车之间的距离不得小于20

km，那么这批货物全部运到B市，最快需要(

) A．6 h

B．8 h

C．10 h

D．12 h 3x－y－6≤05．(2011·宁波月考)设x，y满足约束条件x－y＋2≥0x≥0，y≥0

，若目标函数z＝ax＋by (a>0，23b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(

) ab25811A.

B.

C.

D．4 633二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2010·浙江)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

27．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象x交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．

8．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围为__________________．

三、解答题(共38分) 49．(12分)(1)已知0

3(2)点(x，y)在直线x＋2y＝3上移动，求2x＋4y的最小值．

10．(12分)(2011·长沙月考)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车920v的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝2(v>0)．

v＋3v＋1 600(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？

- 5 -

(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．

(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；

(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

- 6 -