阅读与思考 海伦和秦九韶第二课时 公开课

《阅读与思考：海伦和秦九韶》教学设计

四川省崇州市崇庆中学

李心军

一、教学内容分析

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（人教A版）第一章第二节解三角形应用举例之后，第三节实习作业之前的阅读与思考内容：海伦与秦九韶，是在高一学生学习了三角函数、三角恒等变换、解三角形之正弦定理、余弦定理、面积公式等知识之后的补充内容；同时，也是数学文化与数学史中的精彩内容之一，有助于培养学生的学习兴趣、激发学习热情和民族自信心、自豪感。

根据实际教学处理，这部分内容共分为三个部分：第一部分，学生通过阅读教材及教师补充材料和微课了解海伦及海伦公式、了解秦九韶及秦九韶公式，激发学生的学习热情.第二部分，学生自己动脑思考并通过同角三角函数基本关系式、余弦定理动手证明海伦公式与秦九韶公式的等价性，并做展示；教师小结证明公式等价性的要点、举例说明两个公式使用的优缺点，并简要介绍知识产权保护的重要性。第三部分，有关数学文化试题举例。

二、学情分析

对高一学生来说，已学三角函数、平面向量、解三角形等知识，有一定的阅读与观察、分析和解决问题的能力，但对前后知识之间的内在联系、理解与应用尤其是恒等变形等有一定的困难，因此思维灵活性受到制约。根据学生以上特点，教师恰当点拨，提高学生学习的积极性和主动性，加以前后知识之间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。

三、设计思想：

本节课采用自主阅读、合作探究的课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“证明秦九韶公式和海伦公式的等价性”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生阅读理解、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。

四、教学目标：

1.学生通过自主阅读教材和观看微课，了解海伦及海伦公式、秦九韶及秦九韶公式，培养学习兴趣、激发学习热情和民族自信心、自豪感；

2.学生在教师的引导下，通过合作学习探究秦九韶公式和海伦公式的等价性，了解知识之间的内在联系；

3.学生通过观察、分析及实例感受两个公式使用的优缺点，感受知识产权保护的重要性，了解数学文化. 五、教学重点与难点

教学重点：了解海伦及海伦公式、秦九韶及秦九韶公式，秦九韶公式和海伦公式等价性的证明；

教学难点：秦九韶公式和海伦公式等价性证明中的恒等变形。

教学准备：与海伦和秦九韶有关的数学史、数学文化知识的查阅及微课制作。

六、教学过程：

（一）创设情境，激发热情

前面我们学习了解三角形的知识，如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，知道三角形面积公式有

111111SABCahabhbchc，SABCabsinCbcsinAcasinB等. 222222【问题1】三角形面积能不能直接用三边的长来表示呢？

答案是肯定的，请同学们阅读教材《必修5》P21的“阅读与思考：海伦和秦九韶”，了解海伦及海伦公式、秦九韶及秦九韶公式.（时间约5分钟）

（二）微课学习，新课探究

为了加深印象和对海伦与秦九韶的了解，我们一起来观看微课：《海伦和秦九韶》.（时间约5分钟）

【问题2】海伦公式与秦九韶公式都是直接用三边的长来表示三角形的面积，它们应该是等价的，如何证明两者的等价性呢？ 请同学们先自己动手试着证明一下，提示：用上面第二组公式中的最后一个1SABCcasinB及同角三角函数基本关系式和余弦定理.（时间约10分钟）

2 再合作交流探讨一下证明过程.（时间约5分钟）

接下来请某某同学上台展示他的证明过程.（时间约5分钟）

【问题3】证明过程的关键之处是什么？

（一）结合实例，激发动机

师生活动：

B

教师：展示情景图如图1，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得CA距离，如果船上有测角仪我们能否计算出A、B的距离？

学生：思考提出测量角A，C A教师：若已知测得BAC75， CACB45，要计算A、B两地距离，你 （图1）

有办法解决吗？

学生：思考交流，画一个三角形ABC，使得BC为6cm，BAC75，

ACB45

，量得AB距离约为4.9cm，利用三角形相似性质可知AB约为

490m。

老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。

。

教师：引导，ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

学生：思考，交流，得出过A作ADBC于D如图2，把ABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。

解：过A作ADBC于D

ADA在RtACD中，sinACB

ACADACsinACB60023002m

2CD（图2）

ACB45，BAC75

ABC180ACBACB60

B在RtABD中，sinABCAD

ABABAD30022006m

sinABC32教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若ACb，ABc，能否用B、b、C表示c呢？

教师：引导学生再观察刚才解题过程。

ADAD学生：发现sinC，sinB

bc

ADbsinCcsinB

bsinC

c

sinB教师：引导

，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？

bsinCasinCbsinA学生：发现即然有c，那么也有c，a。

sinBsinAsinBbsinCasinCbsinA教师：引导

c，c，a，我们习惯写成对称形式sinBsinAsinBcbcaab，，，因此我们可以发现sinCsinBsinCsinAsinAsinBabc，是否任意三角形都有这种边角关系呢？

siAnBsisniCn设计意图：兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问

题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。

（二）数学实验，验证猜想

教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验abc是否成立，举出特例。

sinAsinBsinC（1）在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为60，60，60，对应的边长a：b：c为1：1：1，对应角的正弦值分别为引导学生考察333，，，222abc，，的关系。（学生回答它们相等）

sinAsinBsinC （2）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为45，45，90，对应的边长a：b：c为1：1：2，对应角的正弦值分别为22，，221；（学生回答它们相等）

（3）、在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为30，60，90，对应的边长a：b：c为1：3：2，对应角的正弦值分别为（学生回答它们相等）（图3）

AAA13，，1。2260cbc45b3060Ba60CB45a90CB6090C

（图3）

教师：对于RtABC呢？

学生：思考交流得出，如图4，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, abcA 则有sinA，sinB，又sinC1, cccc abcc

则b sinAsinBsinCabc从而在直角三角形ABC中，

C sinAsinBsinCa B

(图4) abc

教师：那么任意三角形是否有呢？学生按事先安排sinAsinBsinC分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。）

学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实abc验数据计算，比较、、的近似值。 sinAsinBsinCabc

教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、、值仍然sinAsinBsinC保持相等。

abc

我们猜想：==

sinAsinBsinC设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

（三）证明猜想，得出定理

师生活动：

教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何abc用数学的思想方法证明呢？前面探索过程对我们有没有启sinAsinBsinC发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。（以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述）

学生：思考得出

①在RtABC中，成立，如前面检验。

②在锐角三角形中，如图5设BCa，CAb，ABc

作：ADBC，垂足为D

AD在RtABD中，sinB

ABADABsinBcsinB

AAD在RtADC中，sinC

ACADACsinCbsinC

csinBbsinC

cb

sinCsinBac同理，在ABC中， CBDsinAsinC（图5）

abc

sinAsinBsinC③在钝角三角形中，如图6设C为钝角，BCa，CAb，ABc

作ADBC交BC的延长线于D

ADA

在RtADB中，sinB

AB

ADABsinBcsinB

AD

在RtADC中，sinACD

ACADACsinACDbsinACB

csinBbsinACB

BC（图6）

D

cb

sinACBsinBac

sinAsinC同锐角三角形证明可知abc sinAsinBsinACB

教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

sinAsinBsinC还有其它证明方法吗？

学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式111可以得出：SABCACBDCBAEBACF，

222BDAE而由图中可以看出：sinBAC，sinACB，ABACCFsinABC

BCBDABsinBAC,AEACsinACB,CFBCsinABC

111ACBDCBAEBACF

222111=ACABsinBACCBCAsinACBBABCsinABC

222111=bcsinBACabsinACBcasinABC

222111sinBACabsinACBcsain中均AB等式bc除C以2221sinBACsinABCsinACBabc后可得， 2abcabc即。

sinBACsinABCsinACB教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。

SABC

B

F

c

b

A

(图7) （图7）

E

a

C

D

在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AEcsinABCasinABC，1三角形的面积：SABCaAE，能否得到新面积公式

2111学生：SABCbcsinBACabsinACBcasinABC

222111得到三角形面积公式SABCabsinCcasinBbcsinA

222abc

教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一sinAsinBsinC个比值k，那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？

tAB中C，

学生：在前面的检验中，Rabcc，c恰为外接接圆的直径，即CsiAnsBinCsinB'ck2R，所以作ABC的外接圆O，O为圆心，连接BO并延长交圆O于B'，把一般三角形转化为直角三角形。

证明：连续BO并延长交圆于B'

B'AB90，B'C AABBBB

在RtB'AB中，sinB'（图8）

ABABB'B2R

sinB'sinCc2R

即sinCab2R，2R

同理可证：sinAsinBabc2R

sinAsinBsinCabc2R，显示正弦定理的比

教师：从刚才的证明过程中, sinAsinBsinC值等于三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”O

等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过ababcos，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量积来证明正弦定理呢？

学生：思考（联系作高的思想）得出：

在锐角三角形ABC中，ABBCAC，作单位向量j垂直于AC，

ACjABjBCj

即0ccos(90A)acos(90C)

Bj

csinAasinC0

ca



sinCsinAj

j

baC

同理：

AsinBsinA（图9）

abc



sinAsinBsinC

对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。

教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程。

（四）利用定理，解决引例

师生活动：

教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。

学生：马上得出

cb

在ABC中，B180AC60,

sinCsinBbsinC600sin452006m

csinBsin60（五）了解解三角形概念

设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性

教师：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。

（六）运用定理，解决例题

师生活动：

教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。

学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：

①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，bsinA如a；

sinB

②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如asinAsinB。

b

师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。

例1：在ABC中，已知A30，B45，a6cm，解三角形。

分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。

例2：在ABC中，已知a22，b23，A45，解三角形。

例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流

学生：反馈练习（教科书第5页的练习）

用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。

（七）尝试小结：

教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。

学生：思考交流，归纳总结。

师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：

abc2R）及其证明思想方法。

（1）正弦定理的内容（sinAsinBsinC（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。

（3）分类讨论的数学思想。

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

（八）作业设计

作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。

思考题：例2：在ABC中，已知a22，b23，A45，解三角形。例2中b23分别改为b26，观察解的情况并解释出现一解，b5并解三角形，两解，无解的原因。

课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用（相关网址：www.fayz.com）

七、设计思路：

本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。

1、结合实例，激发动机

数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。

2、数学实验，验证猜想

通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。

3、证明猜想，得出定理

引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。

附一：

实验报告单

组长:

组员：

abc试验目的

研究三角形中各边和它对角的正弦值的比(，，)是否相sinAsinBsinC等。

实验器材

实验方法

实验内容

计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发）

画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。

三边：a= b= c= 三角：A= B= C= abc计算：= = = sinAsinBsinC（精确到小数点后两位）

结论：

福安一中

陈桢仔

林旭

点评：

本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值

的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方法的理念。其次，在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量）等，都体现了

“在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方法二，参透了分类

、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。

总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，感受“观察——实验——猜想——证明——应用”等环节，教学过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。