3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学实录

3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

教学过程

一、推进新课

1.复数的加法

探究新知

我们规定，复数的加法法则如下：

设z1abi,z2cdi是任意两个复数，那么

abicdiacbdi

提出问题

问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗？

问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？

问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？

活动设计：学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题：实数加法有交换律、结合律，复数满足吗？并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流。

活动成果：满足，对任意的z1,z2,z3C,有

交换律：z1z2z2z1

结合律：z1z2z3z1z2z3

证明：设z1abi，z2cdi，

z1z2acbdi z2z1cadbi

显然，z1z2z2z1

同理可得，z1z2z3z1z2z3

设计意图：引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题，探究问题的能力。

2.复数加法的几何意义

提出问题：复数与复平面内的点有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证。

y 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，Z2c,d

Z 并注意与学生交流。

Z1a,1 b

O x

学情预测：学生可能会很快类比出结果，确不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决。

设

，如图，画出向量

OZ1，OZ2后，

提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向

量（即合向量）OZ，画出向量OZ后，问与它对应的复数

是什么，即求点Z的坐标。

活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义。

设计意图：既训练了学生的类比思想，也培养了学生的数形结合思想。

3.复数的减法

提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则及其几何意义。

活动设计：学生独立完成，口述，教师板书。

活动成果：1、复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足cdixyiabi

的复数xyi叫做复数abi减去复数cdi的差，记做abicdi。

2、

复数减法的几何意义是可以按照向量的减法来进行的。

设计意图：考察学生类比思想，提高学生主动发现问题，探究问题的能力。

提出问题：你能试着自己推导减法法则吗？

活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流。

学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等定义来验证，部分学生

可能会想到把减法运算转化为加法运算，即abicdiabi1cdi

abicdi

acbdi

活动成果：证明：根据复数相等的定义，有

cxa,dyb,

因此xac,ybd,

即abicdiacbdi

设计意图:让学生动手推导减法法则，有利于培养学生创新能力和互助合作的学习习惯。

二、理解新知

提出问题

问题1：复数的加（减）法法则规定的合理性在哪里？

问题2：复数的加（减）法实质是什么？

问题3：多个复数相加减怎样运算？

活动设计：学生独立完成，口述，教师完善。

活动成果：1．它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美结合起来。2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。3．可将它的实部与实部，虚部与虚部分别相

2

加减。

设计意图：加深对复数加（减）法法则的理解，并为例题打下基础。

运用新知

三、例题讲解

例1 计算56i2i34i

思路分析：根据复数的加减运算即可得出。

解法一：56i2i34i=523614i11i

解法二：56i2i34i

=5261i34i37i34i11i

点评：本题是一道巩固复数加减运算的题目，且是一道加减混合运算题，要求学生把握住公式的准确性。法一是直接将它们的实部与虚部分别相加（减），法二是前两个复数相加，得到的和再与第三个复数相减，法一更好。

变式练习

计算12i23i34i45i99100i100101i

分析：从整体上把握，把各个复数的实部和实部相加，虚部和虚部相加。

解：原式=1234991002345100101i 5050i

点评：巩固复数加减运算，并带有一定的规律性。

变练演编

教师：在复数减法几何意义中，我们知道，复数z1z2与向量Z2Z1一一对应，那么，z1z2的模长呢？显然，z1z2Z2Z1Z1Z2,所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点的距离。

提出问题：设动点Z与复数zxyi对应，定点P与复数pabi对应．根据复数差的模的几何意义，求复平面内圆的方程。

活动设计：学生先独立完成，允许互相交流结果。

活动成果：解：设定点P为圆心，r为半径，如图，

由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r。

提出问题

1．复平面内满足 的点Z的集合表示的图形是以P为圆心，r为半径的不含边界的圆面部分。

2．由复数差的模的几何意义，试写出一些复平面内的轨迹方程。

活动设计：学生分组完成，教师完善。

活动成果：1．zpr

3

四、达标检测

1．计算

124i34i,234i2i15i

2．复数65i与34i对应的向量分别是OA与OB,其中O是原点，求向量AB,BA对应的复数。

3．求复数2i,3i所对应的两点之间的距离。

9i 3．5提示：【答案】1．所对应的点是2,1,3,1，15，222i 2．9i；用两点距离即可。

五、课堂小结

知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）

1、若干个复数相加（减），可以将它们的实部与虚部分别相加（减），复数的加（减）法则与多项式加（减）法是类似的。

2、复数加（减）法的几何意义是可以按照向量的加（减）法来进行。

六、布置作业：P112，习题A组1，3

七、补充练习

基础练习

1．如果复数abi与cdi的和是一个纯虚数，则有 （ ）

A bd0且ac0 B ac0且bd0

C ad0且bc0 D bc0且ad0

2．当1m1时，复数m2i1i在复平面内所对应的点位于（ ）

2A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

3．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2i，向量BA对应的复数为12i，向量BC对应的复数为3i，求点C对应的复数。

4．在平行四边行OABC中（其中Ｏ为原点），点A、B、C所对应的复数分别是z14ai,z268i,z3abia,bR,求复数z1,z3，并求出z1z3的值。

【答案】1．B 2．B 3．42i

4．z142i；z326i；z1z324i

八、拓展练习

5．如果复平面内一图形的方程是zizi4，求这个图形的轨迹。

6．复数z1,z2,其中z1z21,z1z22，求z1z2。

【答案】5．方程可以看成zizi4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆。

6．提示：法一：数形结合思想，构造边长为1的正方形，则其中一条对角线长

度为2，则所求的另一条也等于2。

4

法二：（向量法）设z1,z2所对应的向量分别是a.b，由和向量的模平方得，ab0，

则差向量的平方也得2，所以z1z2九板书设计

一、推进新课

1. 复数的加法

2. 复数的减法

二、理解新知

三、例题讲解

例1

例2 四、达标检测

五、课堂小结

2。

十、设计说明

本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题如手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性。在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，让学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念。

对于复数的减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。

例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能的照顾到各个层次的学生。

备课资料

1.已知关于x的方程：x26ix9ai0aR有实数根b. (1)求实数a,b的值；

(2)若复数z满足zabi2z0，求z最小值。

思路分析：由复数相等定义，求出两个参数值，由z与原点的距离，在图形中解决即可。

x02y02，把z转化为解：(1)b6ib9ai0即b6b9abi0

22由复数相等，解得a=b=3. (2)设z=x+yi,则zxyi,

5

由zabi2z0，得x3y3i2z，

即x3y34x2y2，

22整理，得x1y18，

22即复数z在复平面内表示的轨迹是以（-1，1）为圆心，半径长为22的圆。

z的几何意义是Z(x,y)与原点的距离，连接圆心与原点即可，

zmin=2222。

点评：在问题(2)中，解决此类问题的关键是利用复数的几何意义，把数转化成形，在图形中寻求答案

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