小结优秀教案案例

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。

邻水县丰禾中学赛课导学案

学科

课题

数

学

随机变量及分布——小结与复习导学案

执教者

课型

罗

春

艳

复

习

课

教学过程：

启动思维

用我们所学的概率知识证明“坚持就是胜利”. 一

知识网络构建

二

考点考情点击

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1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．

2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．

4．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．

命题探究

1．以应用题为背景命题，考查离散型随机变量的分布列、均值及某范围内的概率．相互独立事件同时发生的概率，某事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算，二项分布和离散型随机变量的均值与方差是高考的重点，考查的题型以解答题为主，有时也出现选择、填空题．

2．高考中考查热点仍是离散型随机变量的分布列及均值，同时结合相互独立事件同时发生的概率和二项分布，其难度为中档．

三

热点考点例析

题型1

事件概率的求法

解决概率问题的步骤是：

第一步，确定事件性质；

第二步，判断事件的运算；

第三步，运用公式．

1

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。

1．

条件概率

(i) ．条件概率的概念

设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝

为在

事件

发生的条件下，事件

发生的条件概率．

P(B|A)读作

发生的条件下，

发生的概率．

(ii)．条件概率的性质

(1)P(B|A)∈

．

(2)如果B与C是两个互斥事件，

则P(B∪C|A)＝

．

2．相互独立事件同时发生的概率

(i) ．相互独立事件的概念

设A，B为两个事件，如果P(AB)＝

，则称事件A与事件B相互独立．

(ii)．相互独立的性质

若事件A与B相互独立，那么A与

，

与B，

与

也都相互独立．

3．n次独立重复试验的概念

在

条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．

二项分布

在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，

P(X＝k)＝

，k＝0,1,2，…，n. 此时称随机变量X服从二项分布，记作

，并称p为

．

例1

在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：

(1)第1次抽到理科题的概率；

(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；

(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

例2

某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都“合格”，则该课程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9、0.8、0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响．

(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；

(2)求这三人该课程考核都合格的概率．(结果保留三位小数)．

题型二

离散型随机变量的分布列的求法

1．求离散型随机变量的分布列有三个步骤：

(1)明确随机变量X取哪些值；

(2)计算随机变量X取每一个值时的概率；

(3)将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．

2．求离散型随机变量的分布列，要解决好两个问题：

(1)根据题意，明确随机变量X取值，切莫疏忽大意多解或漏解；

(2)一般来说，求相应的概率时有时数字会很大，同学们要有信心，不要半途而废．

例3

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为（1）

获赔的概率；

（2）

货赔的金额的分布列.

2 111,,,且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此种保险种：

91011

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。

题型3

离散型随机变量的期望与方差的求法

求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．在求离散型随机变量的分布列之前，要弄清楚随机变量可能取的每一个值，以及取每一个值所表示的意义．

离散型随机变量的期望与方差试题，主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理信息的能力．主要题型：

(1)离散型随机变量分布列的判断；

(2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差；

(3)根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参数．

1.

均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ

P x1

p1

x2

p2

…

…

xn pn

则称

E() 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

期望的一个性质: E(ab) ，若ξ～B(n，p)，则E（ξ）=

2.

方差:

对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，那么, D()＝ . 称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量ξ的期望．

3. 标准差:D()的算术平方根D()叫做随机变量ξ的标准差，记作()．

方差的性质：（1）D(ab) ；

（2）若ξ～B(n，p)，则D()

例4

（2011年江西理）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望。

例5

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是1，每次测试时间间隔恰当.每次测试通过与否相互独立。

3(1)求该学生考上大学的概率；

(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X，求X的分布列及X的数学期望．

四

跟踪训练

3

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。

13,P(A)=,P(AB)=(

) 525931A.

B.

C.

D.

610101042.某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

51696192256A．

B

C.

D.

6256256256251.已知P(B|A)=3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．

4．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在18，19，20层可以停靠，若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为（1）随机变量的分布列；

（2）随机变量的数学期望.

1，用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求

3五

课后作业

1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(

) 3251A.

B.

C.

D.

559102.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、11乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两4211小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．

24(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）.

六 教后反思

本堂课整体设计感觉还可以，引入精彩，教学内容难度适中.大部分学生在课堂上思维活跃，积极思考问题，回答问题.顺利完成了本堂教学内容.美中不足的是：1、内容稍多了点，2、应该在多媒体中展示例题答案.在以后的教学中要注意灵活处理.

4