2.基本不等式课堂实录及点评

第一节

绝对值不等式

教学目标：

1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

二、典型例题分析：

(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图4-5-1-1中画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

绝对值不等式的解法

图4-5-1-1 3x－2，－1＜x≤32，[解]

(1)由题意得f(x)＝3－x＋4，x＞，2故y＝f(x)的图象如图所示．

x－4，x≤－1，

1

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

1当f(x)＝－1时，可得x＝3或x＝5. 故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，

f(x)＜－11的解集为xx＜3或x＞5

. 所以|f(x)|＞11的解集为xx＜3或1＜x＜3或x＞5

. 小结：

解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论，用零点分段法转化为解不含绝对值符号的普通不等式，零点分段法的操作程序是：找零点，分区间，分段讨论；

(2)当不等式两端均非负时，可通过两边平方的方法转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

11

(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x－2＋x＋2，M为不等式f(x)＜2的解集．

(1)求M；

(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|. 绝对值不等式的证明

2

11[解]

(1)f(x)＝1，－2＜x＜2，12x，x≥2.1当x≤－2时，

由f(x)＜2得－2x＜2，

解得x＞－1；

11当－2＜x＜2时，f(x)＜2；

1－2x，x≤－2，

1当x≥2时，由f(x)＜2得2x＜2，解得x＜1. 所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．

(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0. 因此|a＋b|＜|1＋ab|. 小结：证明绝对值不等式三种常用方法

1利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明. 2利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明. 3转化为函数问题，利用数形结合进行证明.

(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．

[解]

(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于

x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①

当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；

当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式绝对值不等式的综合应用

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化为x2＋x－4≤0，

从而1＜x≤－1＋17. 2－1＋17. 所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤2(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，

所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2. 又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，

所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1. 所以a的取值范围为[－1,1]．

小结：

1.研究含有绝对值的函数问题，常利用零点分段法或数形结合法求解. 2.与恒成立或能成立相关的求参问题，常构造函数转化为求最值问题.

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