1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用优质课教案整理

《独立性检验的基本思想及初步应用》教学设计

【教材分析】

本节课是人教A版（选修）1—2第一章第二节的内容．在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性，回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节。

在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设结论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。

学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。这是因为，随着现代信息技术飞速发展，信息传播速度快，人们每天都会接触到影响我们生活的统计方面信息，所以具备一些统计知识已经成为现代人应具备的一种数学素养。

一、教学目标

1. 数学观念：使学生理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；

2.科学思维：通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，使学生了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用；

3.实验探究：鼓励学生体验用多种方法(等高条形图和独立性检验)解决同一问题，并对各种方法的优缺点进行比较；

4科学态度与责任：.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）.

二、教学重点

本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 三、教学难点

在授课过程中，学生学习过程中遇到的困难主要有以下几个方面：

1.的结构的比较奇特，也来的有点突然，学生可能会提出疑问。

2.如何理解独立性检验的基本思想？

3.独立性检验的一般步骤及背后的理论依据是什么？

4.为什么在最后表达结论的时候要说明“在犯错误的概率不超过XX的前提下”。

四、教学过程

知识点一

两个分类变量之间关联关系的定性分析

1．分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．这里的“变量”和“值”都应作为“广义”的变量和值进行理解，它们取的不一定是具体的数值．

2．列联表

列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

3.两个分类变量之间关联关系的定性分析的方法

(1)频率分析法：通过对样本的每个分类变量的不同类别事件发生的频率大小进行比较来分析分类变量之间是否有关联关系．通常通过列联表列出两个分类变量的频数表来进行分析．

(2)图形分析法：与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否互相影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

知识点二

独立性检验

1．定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

nad－bc22．K＝，其中n＝a＋b＋c＋d. a＋bc＋da＋cb＋d23．独立性检验的具体做法

(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0. (2)利用公式计算随机变量K2的观测值k. (3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

题型一

有关“相关的检验”

例1

某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：

用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？

男生

女生

总计

解

判断方法如下：

假设H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H0成立，则K2应该很小．

∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，

nad－bc2∴K＝

a＋bc＋da＋cb＋d2体育

21

6

27

文娱

23

29

52

总计

44 35 79 79×21×29－23×62＝≈8.106. 44×35×27×52且P(K2≥7.879)≈0.005即我们得到的K2的观测值k≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．

nad－bc2反思与感悟

(1)利用K＝求出K2的观测值k的值．再利用临界值a＋bc＋da＋cb＋d2的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．

跟踪训练1

打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关．下表是一次调查所得的数据：

每一晚都打鼾

不打鼾

总计

患心脏病

30

24

54

未患心脏病

224

1355

1579

总计

254 1379 1633 根据独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系？

解

由列联表中的数据，得K2的观测值

1633×30×1355－224×242k＝

254×1379×54×1579≈68.033>10.828. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为每一晚都打鼾与患心脏病有关系．

题型二

有关“无关的检验”

例2

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

解

列出2×2列联表

有兴趣

无兴趣

总计

代入公式得K2的观测值

361×138×52－73×982－k＝≈1.871×104. 236×125×211×150∵1.871×104＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．

－理

138

98

236

文

73

52

125

总计

211 150 361 反思与感悟

运用独立性检验的方法：

(1)列出2×2列联表，根据公式计算K2的观测值k. (2)比较k与k0的大小作出结论．

跟踪训练2

在一次恶劣天气的飞行航程中调查男女乘客在飞机上晕机的情况如下表所示，根据此资料是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男人比女人更容易晕机？

男人

女人

晕机

24

8

不晕机

31

26

总计

55 34

总计

32

57

89 解

根据列联表中的数据，可得K2的观测值为

89×24×26－31×82k＝≈3.689. 55×34×32×57∵P(K2≥3.841)≈0.05，且3.689<3.841，

∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男人比女人更容易晕机．

题型三

独立性检验的基本思想

例3

某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间(单位：时)的样本数据．

女生的样本数据？

(1)应收集多少位(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图)，其中样本数据的分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附：

P(K2≥k0)

k0

nad－bc2K＝. a＋bc＋da＋cb＋d20.100

2.706

0.050

3.841

0.010

6.635

0.005 7.879 4500解

(1)由分层抽样可得300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

15000(2)由频率分布直方图得学生每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75. (3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，可得每周平均体育运动时间与性别列联表：

每周平均体育运动时间不超过4小时

每周平均体育运动时间超过4小时

总计

结合列联表可算得K2的观测值

300×45×60－30×1652k＝≈4.762>3.841. 75×225×210×90男生

45

165

210

女生

30

60

90

总计

75 225 300 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

nad－bc2反思与感悟

(1)解答此类题目的关键在于正确利用K＝计算k的值，a＋bc＋da＋cb＋d2再用它与临界值k0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．

(2)此类题目规律性强，解不难理解掌握．

跟踪训练3

某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分成绩优秀的人数如下表所示，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀有关系？

数学优秀

数学非优秀

物理优秀

228

143

化学优秀

225

156

总分优秀

267 99 题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，注：该年级在此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人．

解

列出数学成绩与物理成绩的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

物理优秀

228

143

371

物理非优秀

132

737

869

合计

360 880 1240 将表中数据代入公式，得K21的观测值为

1240×228×737－132×1432k1＝≈270.1>10.828. 360×880×371×869列出数学成绩与化学成绩的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

化学优秀

225

156

381

化学非优秀

135

724

859

合计

360 880 1240 将表中数据代入公式，得K22的观测值为

1240×225×724－156×1352k2＝≈240.6>10.828. 360×880×381×859列出数学成绩与总分成绩的2×2列联表如下：

数学优秀

数学非优秀

合计

总分优秀

267

99

366

总分非优秀

93

781

874

合计

360 880 1240 将表中数据代入公式，得K23的观测值为

1240×267×781－93×992k3＝≈486.1>10.828. 360×880×366×874由上面的分析知，K2的观测值都大于10.828，说明在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为数学成绩优秀与物理、化学、总分成绩优秀都有关系．

易错点：求K2时用错公式致误

例4

在109个人身上试验某种药物预防感冒的作用，得到如下列联表：

服用药

未服用药

总计

则有多大把握认为该药有效？

109×11×46－21×312错解

k＝≈0.3138<0.455，

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.5的前提下不能认为该药有效．

nad－bc2错因分析

K＝，而错解中误将(ad－bc)2写成(ab－cd)2. a＋bc＋da＋cb＋d2[来源学科网]

感冒

11

21

32

未感冒

46

31

77

总计

57 52 109 109×11×31－21×462正解

k＝≈5.8300>5.024，

57×52×32×77∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为该药物有效．

点评

要理解公式的推导过程，掌握公式中每个量的意义，抓住公式的特征，就会避免用错公式．

每周平均体育运动时间不超过4小时

每周平均体育运动时间超过4小时

总计

结合列联表可算得K2的观测值

男生

45

165

210

女生

30

60

90

总计

75 225 300

300×45×60－30×1652k＝≈4.762>3.841. 75×225×210×90所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

nad－bc2反思与感悟

(1)解答此类题目的关键在于正确利用K＝计算k的值，a＋bc＋da＋cb＋d2再用它与临界值k0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．

(2)此类题目规律性强，解不难理解掌握．

课堂练习：

1．在一次独立性检验中，其把握性超过了99%，则随机变量A．6.635

B．5.024

C．7.897

D．3.841

2．把两个分类变量的频数列出，称为（

）

A．三维柱形图

B．二维条形图

C．列联表

D．独立性检验

3．由列联表

43 13 56

162 121 283 合计

205 134 339

的可能值为（

）

题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，

合计

则随机变量

的值为（ ）

4．某大学希望研究性别与职称之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？

5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：

男

女

非统计专业

13 7 统计专业

10 20 为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到

。

，所以断定主修统计专业与性别有关系。这种判断出错的可能性为________________________________________。

6．（解决问题2）在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动。

（1）根据以上数据建立一个

的列联表；

（2）检验性别与休闲方式是否有关系。

7．

调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表。试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生的时间有关系。

出生时间 性别

男婴

女婴

合计

五、课堂小结

晚上

24 8 32

白天

31 26 57 合计

55 34 89

六、作业布置

1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想

2.

课本16页 习题1.2第

1、2题

[来源学科网]