1.3 二项式定理（通用）名师教学设计2

nkk(3)Ckb是(a＋b)n展开式中的第k项．(

) na－

答案：(1)×

(2)×

(3)×

1x－5的展开式中含x3项的二项式系数为(

) 2.xA．－10

C．－5 答案：D 2x2－35展开式中的常数项为(

) 3.xA．80 C．40 答案：C 4．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第三项的二项式系数为________．

答案：40

10

二项式定理的应用

B．－80

D．－40

B．10

D．5 [典例]

(1)求3x＋14的展开式；

x(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．

143x＋[解]

(1)法一：

x13＋C4·14

413122123＝C0(3x)＋C(3x)·＋C(3x)·＋C·3x·44444xxxx＝81x2＋108x＋54＋121＋. xx214(3x＋1)4法二：3x＋＝

x2x1＝2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x121＝81x2＋108x＋54＋x＋2. x5142332450(2)原式＝C05(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)＋C5(x－1)－1 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.

运用二项式定理的解题策略

(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．

(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

[活学活用] 1．化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(

) A．x4

C．(x＋1)4

B．(x－1)4

D．x4－1 4131解析：选A

(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C04(x＋1)＋C4(x＋1)(－1)＋223340444C24(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＋C4(x＋1)(－1)＝[(x＋1)－1]＝x，故选A．

2．设n为自然数，化简C02n－C12n1＋…＋(－1)k·Ck2nk＋…＋(－1)n·Cnn·n·n·n＝________. －－n1nkn0解：原式＝C02n·(－1)0＋C1·(－1)1＋…＋(－1)k·Ck＋…＋(－1)n·Cn·2＝(2－1)nn·n2n2－－＝1. 答案：1

二项式系数与项的系数问题

12x－x6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

[典例]

(1)求二项式1x－x9的展开式中x3的系数．

(2)求[解]

(1)由已知得二项展开式的通项为

13r6－rr－r＝26－rCrTr＋1＝Cr··(－1)·x3－，

6(2x)6x29∴T6＝－12·x－. 2∴第6项的二项式系数为C56＝6，

第6项的系数为C5(－1)5·2＝－12. 6·(2)设展开式中的第r＋1项为含x3的项，则

19－rr9－2r－xr＝(－1)r·Tr＋1＝Cr·Cx，

9x9·令9－2r＝3，得r＝3，

即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·C39＝－84. [一题多变]

1．[变设问]本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”．

3－解：由通项Tr＋1＝(－1)r·Cr26r·x3－r，

6·2知第四项的二项式系数为C36＝20，

第四项的系数为C3(－1)3·23＝－160. 6·2．[变设问]本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中x5的系数”，该如何求解．

解：设展开式中第r＋1项为含x5的项，则

Tr＋1＝(－1)r·Crx99·－2r，

令9－2r＝5，得r＝2. 即展开式中的第3项含x5，且系数为C29＝36.

求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别．

与展开式中的特定项有关的问题

题点一：求展开式中的特定项

1．(四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(

) A．－15x4

C．－20ix4

B．15x4

D．20ix4

－6rr解析：选A

二项式的通项为Tr＋1＝Cri，由6－r＝4得r＝2. 6x424故T3＝C26xi＝－15x.故选A．

32．(1＋2x)3(1－x)5的展开式中x的系数是________．

3ss3r＋2s解析：(1＋2x)3(1－x)5的展开式的通项为2rCr·(－1)C5x(其中r＝0,1,2,3；s＝36r＝0，r＝2，3r＋2s0,1,2,3,4,5)，令＝1，得3r＋2s＝6，所以或所以x的系数是－C35＋6s＝3s＝0.

4C23＝2. 答案：2 题点二：由二项展开式某项的系数求参数问题

23．(山东高考)若ax＋解析：Tr＋1＝Cr(ax2)55·－r15的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________. x551r＝Cr·5－rax10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5522x23的系数为－80，则有C5·a＝－80，解得a＝－2. 答案：－2

求展开式中特定项的方法

求展开式特定项的关键是抓住其通项公式，

求解时先准确写出通项，

再把系数和字母分离，

根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，

列出方程或不等式即可求解．有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数．

层级一

学业水平达标

1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(

) A．9

C．11

B．10

D．8 解析：选C

∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，∴n＝11.故选C．

12nx－2．设n为正整数，xx展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(

) A．16 C．4

B．10

D．2 12n1rr2n－rx－－解析：选B

展开式的通项公式为Tr＋1＝C2nx＝Cr2n(－xxxx4n－5r4n－5r4n1)rx，令＝0，得r＝，∴n可取10. 2251x－7的展开式的第4项等于5，则x等于(

) 3．已知x1A．

7C．7 1

B．－

7

D．－7 1314－解析：选B

T4＝C3x7x＝5，∴x＝－. 72x－n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(

) 4．若二项式xA．6 C．12

B．10

D．15 n－1224n－444n－12－解析：选C

∵T5＝C4(x)·＝2·Cx是常数项，∴＝0，∴n＝12. nnx22bax6＋x4的二项展开式中，如果x3的系数为20，那么ab3＝(

) 5．在A．20

B．15

C．10 4rr24解析：选D

Tr＋1＝Crbx4a－－7r

D．5 ，令24－7r＝3，得r＝3，则4ab3＝20，∴ab3＝5. 6．(全国卷Ⅰ)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．(用数字填写答案) r5－rr5－rr解析：(2x＋x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr(2x)(x)＝2·C·x5－. 552r令5－＝3，得r＝4. 24故x3的系数为254·C45＝2C5＝10. －答案：10 7．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．

1T2＞T1，C62x＞1，11解析：由得1解得＜x＜. 22125T2＞T3，C62x＞C6(2x).

11答案：12，5

8．若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______.(用数字填写答案) 10rr解析：二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cra，

10x－33733当10－r＝7时，r＝3，T4＝C10ax，则C10a＝15，

1故a＝. 21答案：

29．若二项式x－的值．

6解：∵Tr＋1＝Cr6xa6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求ax－r－ar＝(－a)rCrx6－3r，

62x3r令6－＝3，则r＝2，得A＝C2a2＝15a2；

6·23r令6－＝0，则r＝4，得B＝C4a4＝15a4. 6·2由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，所以a＝2. 10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．

解：由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*. m＝1 ，∴n＝18，

m＝2，m＝18，…，

n＝17，n＝1.

12122x2的系数C2m＋Cn＝(m－m)＋(n－n) 22

19323m－2＋. ＝m2－19m＋171＝24∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，

7此时x7的系数为C79＋C10＝156. 层级二

应试能力达标

1．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(

) A．－297

C．297

B．－252

D．207 解析：选D

x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．

2∴其系数为C510＋C10(－1)＝207. 1n3x＋2．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(

) xxA．4 C．6 解析：选B

B．5

D．7 n－r由二项式定理得，Tr＋1＝Crn(3x)1r＝Cr3n－rxn－5r，令n－5r＝0，n22xx当r＝2时，n＝5，此时n最小．

1x3－n(n∈N*)的展开式中，常数项为28，则n的值为(

) 3．在二项式xA．12 C．6

B．8

D．4 13n－rr3n－4rrr3n－4r－xr＝Cr解析：选B

展开式中第r＋1项是Cr·(－1)x，令(－1)Cnxn(x)n3n－4r＝0r＝28，则(－1)＝1r＝28Cn

，∴n＝8. 1x2－n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(

) 4．在xA．3 C．5

B．4

D．6 1r2n－rrr2n－3r－解析：选D

通项Tr＋1＝Cr(x)＝(－1)Cnx，常数项是15，则2n＝3r，且nxCrn＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D．

2x－x7的展开式中，x4的系数是________．(用数字作答) 5．x

2x－7展开式中x3的系数，

解析：x4的系数，即x2－r7－2r－xr＝(－2)r·Tr＋1＝Crx7r·Cx，

7·7·令7－2r＝3得，r＝2，∴所求系数为(－2)2C27＝84. 答案：84 6．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．

333333解析：展开式中含x3项的系数为C5(－1)3＋C36(－1)＋C7(－1)＋C8(－1)＝－121. 答案：－121 12x＋xn的展开式中第m项的系数为bm. 7．记(1)求bm的表达式；

(2)若n＝6，求展开式中的常数项；

(3)若b3＝2b4，求n. 12x＋xn的展开式中第m项为

解：(1)1Cm·(2x)nn－－m＋11m－1

·x＋2－2m－＝2n＋1－m1n·Cm·xn－＋1－m，

所以bm＝2n1·Cm. n12x＋xn的展开式的通项为

(2)当n＝6时，－1r6－rr6－2rTr＋1＝Cr(2x)6r·＝2·Cx. 6·6·x依题意，6－2r＝0，得r＝3，

故展开式中的常数项为T4＝23·C36＝160. (3)由(1)及已知b3＝2b4，得2n2·C22n3·C3n＝2·n，

－－3从而C2n＝Cn，即n＝5.

8．求证：1＋2＋22＋…＋25n1(n∈N*)能被31整除．

－证明：∵1＋2＋2＋…＋225n－125n－1＝

2－1＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 11n＝C031n＋Cn·31n1＋…＋Cn31＋Cn－1 n·n·－－101＝31(C031n1＋C131n2＋…＋Cn31n1＋C131n2＋…＋Cnn·n·n)，显然Cn·n·n为整数，

－－－－－－∴原式能被31整除．