1.3 二项式定理（通用）教学设计一等奖

《二项式定理》教学设计

课题

时间

【课型】：

新

授

二

项

式

定

理

【课时】：

1课时

本节课二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的的性质乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下地位及的作用.学习本小节的意义主要在于：

作用

（1） 由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2） 由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. （3） 基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4） 二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 学情分（1）学生已经学会了（a+b）2

（a+b）3

的展开式，但不知道（a+b）n

（n>3,n为整数）的析

展开式。

（2）该班学生在学习上具有坚毅、勤奋、刻苦的优良品德，自主学习数学的热情很高。

知识 技能 标

教学目过程标

方法标

与掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某目些指定的项. 与通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 目 情感态 度价值激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理观目标

论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 教学重教学

点难点

重点

教学

难点

二项定理的推导及运用

（1）二项式定理及通项公式的运用

（2）展开式中某一项的系数与二项式系数的区别

教

学

过

程

设

计

教学内教学 容

手段教师教授活动

与方法

新

课

学

习

启

发

提

问

学生学习活动

设计宗

旨与意

图

【创设问题情境】今天是星期天，15【回答】15天和30天后

天后是星期几，30天后，8100

天后【思考】8100

天后是星期几？

呢？

【问题1】：

（a+b）2 =( a+b)( a+b)的展开式有多少项？

【问题2】：

亲自展开

（a+b）3 =( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？

【问题3】：（a+b）4

=( a+b)( a+b)( a+b)( a+b)的展开式有多少项？

你能准确的写出这些项吗？

【启发类比】4个袋子中各有红球理解袋子和括号的相同点

a 白球b各一个，每次从4个袋子中各取一个球，有什么样的取法？

各种取法有多少种？

在4个括号（袋子）中

（1）若每个括号都不取b 只有一种方法得到a4,即种。

种（1）星期几以7为周期计算（2）8100

=(1+7)100

为引入（a+b）n

做准备

为后面的证明做准备

讲

授

探

究

为证明二项式定理做铺垫

（2）若只有一个括号取b共有方法取到 a4b。

（3）若只有两个括号取b共有方法取到 a2b2。

（4）若只有三个括号取b共有方法取到 a1b3。

（5）若只有四个括号取b共有方法取到 a0b4。

种种种 引导学生发现：原始展开式中确实有 同类型存在，且可合并

新

课

学

习

因此：

【问题4】：

开式中理由？

那么该如何轻松清晰的将展开？请同学们归纳猜想。

合

作

探

究

的合并后的展根据的系数是多少？有何展开式归纳

这是后面证明的关键

学生很轻松的根据前面的过程写出 其展开式

【证明思路】：主要运用数学计数原学生根据袋子中取球的例子回答。 理

（1）展开式中为什么会有哪几种类型的项？

（2）展开式中的各项的系数是怎么得来的？

【板书】：一般的对于任意正整数归纳展开式的特点：

n 下面的关系式成立：

（1）项数是n+1项

(1)板书的示范作用

(2)归纳出系数（2）系数 都是组合数,依次为C,C

,C,…,C

的特点才能记(3)

指数的特点 a的指数

由住二项式定理

n 0(降幂)。 b

的指数由0 n（升幂）。 a说明：（1）公式的左边叫二项式，和b的指数和为n。

右边叫二项展开式

（2）二项式中的a，b只是一种符号，可以是任意的数或者式子，只要是两项和的n次幂的形式都可以用二项式定理展开。

【学以致用】：你现在能知道8100

天学生会很快得出

后是星期几吗？（星期四）

8100=(1+7)100

展开进行计算

讲

授

例

题

讲

练

启

发

讲

授

【例1】求（1+2i）5的展开式

（1+2i）5=C+C2i+C(2i)2+ 学生先练，

二项式定理的直接老师后讲

应用

=1+10i-40-80i+80+32i =41-38i （完整板书）

【例2】若（1+2x）7

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求

（1）展开式中各项系数和。

（2）a0+a2+a4+a6的值。

解：（1）利用赋值法，令x=1，得

（1+2）7

=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=37=2187 （1）

令x=-1，

（1-2）7

=a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-1 （2）

（1）+（2），得

2a0+2a2+2a4+2a6=2187-1=2186 即a0+a2+a4+a6=1093 （完整板书）

【练习】：

（+2x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，

分清本题的由这个恒等式a，b各项的系数取值的任意性，我们和

和二项可以令a，b分别取式的系数和一些不同的值来解的区别

决某些问题，这就是我们所说的“赋值法”。

启

发

求（a0+a2）2-（a1+a3）2的值。

答案：-1 （学生书写）

根据式子的赋值法的应用

特点用平方差公式展开，发现是正负交替出现，自然想到赋值，令x=1和x=-1进行求解。

启

发

（1）这个式定理的

【例3】： 求1-90C+…+（-1）90C+…+90C除子是二项式逆向应用

以88的余数。

吗？其值等 于多少？

k解：1-90C+…+(-1)90C+…

（2）一个数除以88，这10+90C=（1-90）

个数写成什 =（88+1）10

么样的特点合适？

109=C88+C88+…+ C88+C

k

所以原式除以88的余数为1 （学生书写）

小

结

板

书

设

计

1． 本节主要学习了《二项式定理》的展开式的特点学生小结

和证明方法。

老师补充

2． 学习了《二项式定理》在解题中的应用。

其中包括赋值法求系数和的方法和逆向应用等

让学生进一步明白二项式定理的内容和应用

【板书设计】：

【例1】：

二项式定理：

一般的对于任意正整数n 下面的关 系式成立：

【例2】：

【练习】：

【例3】：

特点：