1.3 二项式定理（通用）优秀教案范文

“二项式定理（一）”

一、教学目标：

使学生掌握二项式定理及其证明(数学归纳法)，培养学生发现和揭示事物内在客观规律能力和逻辑推理能力。通过介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育。

二、教学重、难点：

重点：二项式定理的推导及证明

难点：二项式定理的证明

三、教学过程：

(一)新课引入：

(提问)：若今天是星期一，再过810天后的那一天是星期几？

在初中，我们已经学过了

(a+b)=a+2ab+b

(a+b)3＝(a+b)2(a+b)＝a3+3a2b+3ab2+b3

(提问)：对于(a+b)4，(a+b)5

如何展开?(利用多项式乘法)

(再提问)：(a+b)100又怎么办？

(a+b)n(n∈N+)呢？

我们知道，事物之间或多或少存在着规律。这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性

(二)新课：

(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。

规律：(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2

(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3

22201019810＝(7+1)10＝C107+C107+…910+C107+C10

＝2(733＋c1732+…+c32·7+2 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

根据以上的归纳，可以想到(a+b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为an, an-1b, an-2b2,…，bn,展开式中各项系数的规律，可以列表：

(a+b)1

1

1

(a+b)2

1

2

1 本卷第1页（共3页）_________________________________________________________

__

(a+b)3

1

3

3

1

(a+b)4

1

4

6

4

1

(a+b)5

1

5

10

10

5

1 （这表是我国宋代杨辉于1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。）

如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) 0(1)若每个括号都不取b，只有一种取法得到a4即C4种

1(2)若只有一个括号取b，共有C4种取法得到a3b 2(3)若只有两个括号取b，共有C4种取法得到a2b2

3(4)若只有三个括号取b，共有C4种取法得到ab3

4(5)若每个括号都取b，共有C4种取法得b4

1

C10

C1

012

C2

C2

C2

013

C3

C3

C32

C3

01234

C4

C4

C4

C4

C4

0135

C5

C5

C52

C5

C54

C5

…………

0n1n-1rn-rrnn∴

(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb(n∈N+) 以上我们采用不完全归纳法得到，不一定可靠，若要说明正确，须加以证明(数学归纳法)。

11证明：(1)当n=1时，左边＝(a+b)1=a+b

右边＝C10a1+C1b=a+b ∴

等式成立

1

(2)假设n=k时，等式成立，即(a+b)k=Ck0ak+Ck·ak-1b+…+Ckrak-rbr+…Ckk·bk

那么当n=k+1时

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(分散难点作法) 以

(a+b)4(a+b)与(a+b)k(a+b)进行类比

0413222344(a+b)4(a+b)＝(C4a+C4ab+C4ab+C4ab3+C4b)(a+b) 0514232323404132

=（C4a+C4ab+C4ab+C4ab+C4ab4）+（C4ab+C4ab+ 223345ab+C4ab4+C4b）

C40102132013由组合数性质知

C4＝C5

C4＋C4＝C5

C4＋C4＝C52

C4＋C4＝C5

4345＋C4＝C54

C4＝C5

C4051432355则(a+b)5=C5a+C5ab+C52a3b2+C5ab+C54ab4+C5b

1(a+b)k+1=(a+b)k·(a+b)=(Ck0ak+Ck·ak-1b+…+Ckrak-rbr+…+Ckk·bk)(a+b)＝1k1k-12(Ck0·ak+1+Ckab+…+Ckrak-r+1br+…+Ckkabk)+(Ck0akb+Ckab+…+Ckr·ak-rbr+1＋…＋1bk+1)＝Ck0ak+1+(Ck+Ck0)akb+…+(Ckr1+Ckr)ak-rbr+1+…+(Ckk+Ckk1)abk+Ckk·bk+1

Ckk·111kk11由组合数性质得，Cko=Ck01

Ck+Cko=Ck…Ckr1+Ckr=Ckr=Ckk1，Ckk=Ckk1，1，Ck+Ck1

k+1k1k01k1k-rr+1kk1k+1∴(a+b)k+1=Cka+ab+…+ab+…+ab+，即等式成立。

CCCC1k1k1k1k1b根据（1）（2）可知，等式对于任意n∈N+都成立。

一、指出：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点：

1．项数：共有(n+1)项

012rnr2．系数：依次为Cn，Cn，Cn，…Cn，…Cn，其中Cn(r＝0，1，2，…n)称为二项式系数

r 说明：二项式系数Cn与展开中某一项系数是有区别的。例如：(1＋2x)6展开式中22第3项中系数为C6·22＝60而第三项的二项式系数是C6＝15。

3．指数：an-r·br指数和为n，a的指数依次从n递减到0，b的指数依次从0递增到n。

三、小结：

0n1n-1rn-rrnn（1）二项式定理(a+b)n=Cna+Cnab+…+Cnab+…+Cnb是通过不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。

（2）二项式定理的特点：1．项数

2．系数

3．指数

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