二 用数学归纳法证明不等式优秀教学设计

4．2 用数学归纳法证明不等式

1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．

2．会用数学归纳法证明与自然数有关的一些不等式．

*1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)(n≥1，n∈N)．

思考1 填空．

*已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2.求证：

n(1＋x)＞1＋nx. 222证明：(1)当n＝________时，左边＝(1＋x)＝1＋2x＋x，右边＝1＋2x，因x＞0，则原不等式成立．

2 (在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得的，为下面证明做铺垫) (2)假设n＝k(k________)时，不等式成立，即________．

当n＝k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是

k＋1k2左边＝(1＋x)＝(1＋x)(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx；

右边＝1＋(k＋1)x. k＋1因为________，所以左边＞右边，即(1＋x)＞1＋(k＋1)x.这就是说，原不等式在n＝k＋1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．

*k2答案: 2 ≥2，k∈N

(1＋x)＞1＋kx

kx＞0

2．用数学归纳法证明不等式的关键是：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这也是学好数学归纳法的重中之重．当然第一步是证明的基础，也是不能少的．

111思考2 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n1)时，第一步即证明不等232－1式________．

11答案: 1＋＋<2 23

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一层练习

111*1．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋n＜n(n∈N，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不232－1等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是(

)

k－1kkkA．2 B．2－1 C．2 D．2＋1 答案: C

n22．当n＝1，2，3，4，5，6时，比较2与n的大小并猜想(

) n2n2A．n≥1时，2＞n B．n≥3时，2＞n

n2n2C．n≥4时，2＞n D．n≥5时，2＞n

答案: D

n23．用数学归纳法证明2n＞n(n∈N，n≥5)，则应第一步验证n＝________．

答案: 5

111114．用数学归纳法证明2＋2＋…＋，假设n＝k时不等式成立，当n2＞－23（n＋1）2n＋2＝k＋1时，应推证的目标不等式是________________．

11111答案:

－＋

2＞－2k＋2（k＋2）2k＋3二层练习

5．关于正整数n的不等式2>n成立的条件是(

) *A．n∈N B．n≥4 C．n>4 D．n＝1或n>4 答案: D

6．对于不等式n＋n≤n＋1(n∈N＋)；某学生的证明过程如下：

2(1)当n＝1时，1＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，

即k＋k＜k＋1. 当n＝k＋1时，

（k＋1）＋（k＋1）＝k＋3k＋2＜（k＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）＝(k＋1)＋1，

∴当n＝k＋1时，不等式成立．

∴上述不等式成立．

由此可知(

) A．过程全部正确

B．n＝1时的验证不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

222222n22

解析：证明过程未使用归纳假设．

答案：D

111357．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)23n227＞3，f(32)＞，观察上述结果，可推测出的一般结论为(

) 22n＋1n＋22A．f(2n)＞ B．f(n)≥

22C．f(2)≥nn＋22 D．以上都不对

34562345解析：f(2)＝，f(4)＝f(2)＞，f(8)＝f(2)＞，f(16)＝f(2)＞，f(32)＝f(2)22227＞，

2所以推测f(2)≥答案：C

8．用数学归纳法证明“对于任意x＞0和正整数n，都有x＋xnn－2nn＋22. ＋xn－4＋…＋1xn－4＋1n－2x1＋n≥n＋1”，需验证的使命题成立的最小正整数值n应满足(

) xA．n＝1 B．n＝2 C．n＝1，2 D．以上答案均不正确

答案：A

111nn9．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用数学归纳法证明f(2)＞时，f(2k＋1)－f(2k)23n2＝________．

解析：∵f(2∴f(2k＋1k＋111111111k)＝1＋＋＋…＋k＋k＋…＋k＋1，f(2)＝1＋＋＋…＋k，

2322＋12232111k)－f(2)＝k＋k＋…＋k＋1. 2＋12＋22答案：111＋＋…＋kkk＋1.

2＋12＋2210．用数学归纳法证明：

111*1＋＋＋…＋＜2n(其中n∈N)．

23n证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边＜右边，不等式成立．

*(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式成立，即

1111＋＋＋…＋＜2k，

23k那么n＝k＋1时，

1＋12＋13＋…＋1＋1＜2k＋1＝2k（k＋1）＋1＜kk＋1k＋1k＋1k＋k＋1＋1＝k＋1

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2k＋1. 所以当n＝k＋1时，不等式也成立．

*根据(1)和(2)可知，不等式对任何n∈N都成立．

三层练习

11．设数列{an}满足an＋1＝an－nan＋1，n∈N. (1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一个通项公式；

(2)当a1≥3时，证明对所有n≥1，有：

①an≥n＋2；

②1111＋＋…＋≤. 1＋a11＋a21＋an22*解析：(1)由a1＝2，得a2＝3，a3＝4，a4＝5，猜想

an＝n＋1. (2)①当n＝1时，a1＝3≥1＋2，不等式成立．

*假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式成立，

即ak≥k＋2，

2当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3. 即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立．

*∴an≥n＋2对于n∈N都成立．

2②由an＋1＝an－nan＋1及(1)知：

2当k≥2时，ak＝ak－1－(k－1)ak－1＋1＝

ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1，∴ak＋1≥2(ak－1＋1)．

即ak＋1k－1≥2.∴ak＋1≥2(a1＋1)，

ak－1＋1111≤·k－1(k≥2)，

1＋ak1＋a12111＋＋…＋≤

1＋a11＋a21＋an11111＋＋2＋…＋n－1＝

21＋a12221n21≤≤.

1＋a11－21＋a12

1113n*12．证明：1＋2＋2＋…＋2≥(n∈N)．

23n2n＋13×1证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，

2×1＋1∴左边≥右边．即命题成立．

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1113k*(2)假设n＝k(k≥1，k∈N)时，命题成立，即：1＋2＋2＋…＋2≥.则当n＝k23k2k＋111113（k＋1）3k1＋1时，要证明1＋2＋2＋…＋2＋，只要证＋2≥2≥23k（k＋1）2（k＋1）＋12k＋1（k＋1）3（k＋1）. 2k＋3∵3（k＋1）3k131－－＝－＝2222k＋32k＋1（k＋1）4（k＋1）－1（k＋1）21－（k＋1）－k（k＋2）＝＜0，

2222（k＋1）[4（k＋1）－1]（k＋1）（4k＋8k＋3）∴3k13（k＋1）＋成立，

2≥2k＋1（k＋1）2k＋311113（k＋1）即1＋2＋2＋…＋2＋成立．

2≥23k（k＋1）2k＋3∴n＝k＋1时，命题成立，根据(1)、(2)可知，对一切n∈N命题都成立．

13．等差数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1＝2，且S2＋b2＝7，S4－b3＝2. (1)求an与bn；

(2)设cn＝*a2n－1，Tn＝c1·c2·c3…cn，求证：

a2n*Tn≥12n(n∈N)．

(1)解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题知：S2＋b2＝7，S4－b3＝2，

2∴d＋2q＝5，3d－q＋1＝0，

解得q＝2或q＝－8(舍去)，d＝1；

n∴an＝1＋(n－1)＝n，bn＝2. (2)证明：∵cn＝2n－1∴cn＝. 2na2n－1，

a2nTn＝×××…×1235462n－1. 2n12n对一切正整数成立．

下面用数学归纳法证明Tn≥2×1－11(1)当n＝1时，T1＝≥，命题成立．

2×121(2)假设当n＝k时命题成立，∴Tk≥，

2k则当n＝k＋1时，

2k＋112k＋112k＋1∵Tk＋1＝Tk·≥·＝·＝2（k＋1）2（k＋1）2k2k＋12kk＋1

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12k＋1·4k＋4k＋11≥，

24k＋4k2k＋12这就是说当n＝k＋1时命题成立，

综上所述，原命题成立．

14．函数f(x)＝x－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4，5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．证明：2≤xn

假设n＝k时，2≤xk<3成立，则当n＝k＋1时，

xk＋1＝4xk＋35＝4－，

xk＋2xk＋255115≤⇔2<≤4－<3即2≤xk＋1<3也成立，

xk＋244xk＋2由2≤xk<3⇔4≤xk＋2<5⇔1<综上可知2≤xn<3对任意正整数恒成立．

下面证明xn

4xn＋34xn＋3－xn－2xn－（xn－1）＋4由xn＋1－xn＝－xn＝＝. xn＋2xn＋2xn＋2由2≤xn<3⇒1≤xn－1<2⇒0<－(xn－1)＋4≤3，

故有xn＋1－xn>0即xn

综上可知2≤xn

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1．用数学归纳法证明含正整数n的不等式(其中n取无限多个值)，要注意观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理的猜想，从而达到解决问题的目的．

2．前面已学过证明不等式的一系列方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等，而本节增加了数学归纳法证明不等式，且主要解决的是无限的问题，因而难度更大一些．但仔细研究，数学归纳法关键是由n＝k到n＝k＋1的过渡，也是学好用数学归纳法证

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不等式的重中之重问题．

(1)用数学归纳法证明的关键是“变项”，即在假设的基础上通过放缩、比较、分析、综合等证明不等式的方法，得出要证明的目标不等式，因此以上几种方法均要灵活地运用．有个别较复杂的问题，第二个步骤再利用数学归纳法．

(2)利用数学归纳法证明不等式问题时，有时要假设当n≤k时成立，再证当n＝k＋1时成立，实质上，这就是第二数学归纳法．

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