1.3 二项式定理（通用）教案教学设计导入设计

课题：二项式定理及应用(一) 高中数学新课标人教A版

选修2-3

山西省吕梁市柳林县柳林联盛中学

张明星

13753812843

学习目标

1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．

1．二项式定理的导入：

（a+b）2 =？

（a+b）3=？

（a+b）4=？

（a+b）5 =？

（a+b）6=？

（a+b）n =？

2．二项式定理及其相关概念：

二项式定理

二项式系数通项

二项式定理的特例

3.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性

________________；

(2)性质

Crn＋1＝________＋________；

(3)二项式系数的最大值

当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即________最大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即____________最大；

(4)二项式系数之和________________________________________________________，

所用方法是________．

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公式(a＋b)n＝__________________________________，称为二项式定理

Tr＋1＝____________________ 012rrnn(1＋x)n＝Cn＋Cnx＋C2nx＋…＋Cnx＋…＋Cnx

类型一

二项式定理的灵活应用

命题角度1

两个二项式积的问题

例1

(1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________. 反思与感悟

两个二项式乘积的展开式中特定项问题

(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．

(3)分别求解再相乘，求和即得．

a1跟踪训练1

(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________．

xx命题角度2

三项展开式问题

x1＋＋25的展开式中的常数项是________．

例2

2x反思与感悟

三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式

解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．

跟踪训练2

求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数．

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类型二

二项式系数的综合应用

1例3

已知(＋2x)n. 2(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；

(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．

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反思与感悟

解决此类问题，首先要分辨二次项系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心．

跟踪训练3

已知2x－1n展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项x式系数之和少112，

第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.

1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．

1x2＋2－23的展开式中常数项为________．

2.x3．(xy－yx)4的展开式中x3y3的系数为________．

4．已知x－a53的展开式中含x的项的系数为30，则a＝________. 2x5．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.

1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题

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(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．

(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．

(3)分别求解再相乘，求和即得．

2．三项或三项以上的展开问题

应根据式子的特点，转化为二项式

解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．

3．求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入．

4．确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质．

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答案精析

知识梳理

n1n1nrrnrrnrr1．C0b＋…＋Crb＋…＋Cnb(r＝0,1，…n) na＋Cnananb

Cn(r＝0,1，…，n)

Cna－－－n2．(1)Cmn＝Cn－m1r

(2)Crn

Cn

－n－1n＋1n(3)Cn

C

n或C222n012nn(4)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Crn＋…＋Cn＝2

赋值法

题型探究

例1

(1)120

(2)－1 解析

(1)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) 0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. 1∴x2的系数为C25＋aC5，

则10＋5a＝5，解得a＝－1. 跟踪训练1

40 解析

令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，

∴a＝1，

1111故(x＋)(2x－)5的展开式中常数项即为(2x－)5的展开式中与x的系数之和．

xxxx1(2x－)5的展开式的通项为

x5r5Tr＋1＝Crx52－－2r(－1)r，

令5－2r＝1，得r＝2，

52∴展开式中x的系数为C2×(－1)2＝80，

5×2－令5－2r＝－1，得r＝3，

1－3∴展开式中的系数为C5×253×(－1)3＝－40，

x11∴(x＋)(2x－)5的展开式中常数项为80－40＝40. xx例2

632

2x＋1＋25，

解析

方法一

原式＝2x1rx＋5－r1(2) ∴展开式的通项为Tr1＋1＝C512x第

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r1(r1＝0,1,2，…，5)．

当r1＝5时，T6＝(2)5＝42，

x15－r1当0≤r1<5时，的展开式的通项公式为

2＋xx5r1r21r215r1r25r12r2r2r2Tr2＋1＝C5()()C()x(r2＝0,1,2，…，5－r1)．

r15r12x2令5－r1－2r2＝0即r1＋2r2＝5. r1＝1，r1＝3，∵0≤r1<5且r1∈

，∴或

r2＝2r2＝1.2123113∴常数项为42＋C1C2＋C5425C2×(2)

2

152632＝42＋＋202＝. 22x＋22x＋25＝15·方法二

原式＝[(x＋2)2]5

2x32x＝1(x＋2)10. 5·32x2求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋2)10的展开式中含x5项的系数，即C5(2)5. 10·C52563210·∴所求的常数项为＝. 322022322跟踪训练2

解

方法一

(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝C4(x＋3x)4－C14＋C4(x4(x＋3x)·2＋3x)2·42－C343＋C444，

4(x＋3x)·4·显然，上式中只有第四项中含x的项，所以展开式中含x的项的系数是－C33·43＝－768. 4·413223404方法二

(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4·(x＋4)4＝(C04x－C4x＋C4x－C4x＋C4)(C4x322433＋C14＋C24＋C343＋C444)，所以展开式中含x的项的系数是－C34x·4x·4x·4·44＋C44＝－768. 46例3

解

(1)由已知得2C5n＝Cn＋Cn，

即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，

143533∵T4＝C3x，

7()(2x)＝221344T5＝C47()(2x)＝70x，

235∴第四项的系数是，第五项的系数是70. 2177当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C714()×2＝3 432. 212(2)由C0n＋Cn＋Cn＝79，

即n2＋n－156＝0. 得n＝－13(舍去)或n＝12. 第

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设Tr＋1项的系数最大，

11∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，

22r1r14r≥Cr4，C12·12·由rr

r＋1r＋1C·4≥C·4，1212－－

解得9.4≤r≤10.4. ∵0≤r≤12，r∈N*，∴r＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项，

1即T11＝()12·C10410·x10

12·2＝16 896x10. 跟踪训练3

解

依题意得2n－22n1＝－112，

－整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，

所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．

4lg x4依题意得C48(2x)(x)＝1 120，

化简得x4(1＋lg x)＝1，

所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，

1故所求x的值为1或. 10当堂训练

1．15

2.20

3.6

4.－6

5.128

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