3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时教案

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 教案

一、教学目标：

1、知识与技能目标：掌握复数的加法运算及意义；

2、过程与方法目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义；

3、情感、态度与价值观目标：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数纯虚数、实部、虚部)

理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用。

二、教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系。

三、教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。

四、教法：启发引导式

五、学法：本节课从学生原有的函数概念、性质等知识出发，我将组织、引导学生独立思考，通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决问题的方法。

六、教具准备：多媒体

七、教学过程

（一）知识回顾

1.虚数单位i：它的平方等于1,即i21;

2.对于复数zabia,bR：

当且仅当b0时,z是实数a; 当b0时,z为虚数; 当a0且b0时,z为纯虚数; 当且仅当ab0时,z就是实数0. 3.复数集与其它数集之间的关系：N4.复数几何意义：

复数zabia,bR

复平面内的点Za,b

一一对应

ZQRC.

我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识一一对应

zabia,bR

复平面内的向量OZ=a,b

复数

结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. （二）新课讲授

1、复数的加法法则

我们规定,复数的加法法则如下: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么：

z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i

提出问题：

(1)两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?

(2)当b=0,d0时,与实数加法法则一致吗?

(3)它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: (1)仍然是个复数,且是一个确定的复数; (2)一致; (3)实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．

【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．

2、复数加法的运算律

实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的z1,z2,z3C,有

z1z2z2z1（交换律）, (z1z2)z3z1(z2z3)（结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．

3、复数加法的几何意义

复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则有OZ1(a,b),OZ2(c,d),由平面向量的坐标运算有

OZ1OZ2(ac,bd). 这说明两个向量OZ1与OZ2的和就是与复数(ac)+(bd)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：

y

Z2(c,d)

Z

Z1(a,b)

O

x

由图可以看出,以OZ1、OZ2为邻边画平行四边形OZ1ZZ2,其对角线OZ所表示的向量OZ就是复数(ac)+(bd)i对应的向量. 【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想.另外,当两复数的对应向量共线时,可直接运算;当不共线时,可类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想. 提问：类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗? 3、复数的减法法则

我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

(cdi)(xyi)abi

的复数xyi叫做复数abi减去cdi的差,记作(abi)(cdi).根据复数相等的定义,有

cxa,dyb, 因此

xac,ybd, 所以

xyi(ac)(bd)i, 即

(abi)(cdi)(ac)(bd)i. 这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数. 【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．

4、复数减法的几何意义

设OZ1,OZ2分别与复数abi,cdi对应,则这两个复数的差z1—z2与向量

OZ1—OZ2（即Z2Z1）对应,这就是复数减法的几何意义.如图所示.

y

Z1Z2

O

x

【设计意图】两个复数的差z1—z2（即OZ1—OZ2）与连接两个终点Z1,Z2,且指向被减数的向量对应,这与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合．注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数. （三）理解新知

1.复数的加减法法则: 设z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)是任意两个复数,规定：

z1z2(ac)(bd)i; z1z2(ac)(bd)i.

2.复数加、减法的几何意义：

(1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则. 3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来. （四）、例题讲解：

例1：(1)(23i)(5i); (2)(12i)(12i);

(3)(23i)(52i); (4)(56i)(2i)(34i); 解:(1)(23i)(5i)(25)(31)i32i; (2)(12i)(12i)(11)(22)i0; (3)(23i)(52i)(25)(32)i35i; (4)(56i)(2i)(34i)(523)(614)i11i. 【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.

例2：(1)设OZ1,OZ2分别与复数z153i,z214i对应,计算z1z2,并在复平面内作出OZ1OZ2, (2)设OZ1,OZ2分别与复数z113i,z22i对应,计算z1+z2,并在复平面内作出OZ1OZ2. 解：

yyZZ2Z1Z1

xOZ2xO图1 图2

(1)z1z2=(5+3i)(14i)(51)(34)i4i.（如图1所示）; (2)z1+z2(13i)(2i)(12)(31)i34i.（如图2所示）. 【设计意图】由复数的几何意义知,复数z1,z2所对应的的点分别为Z1,Z2.OZ1OZ2就是表示向量Z2Z1,而OZ1OZ2可利用平行四边形法则作出. （五）练习巩固

1、课本P109页第1、2题

2、已知复数z1a23(a5)i,z2a1(a22a1)i(aR)分别对应向量OZ1,OZ2（O为坐标原点）,若向量Z1Z2对应的复数为纯虚数,求a的值. 答案：a1. （六）、课堂小结

(一)知识: 1.复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2.复数加法、减法的几何意义. 3.几点说明:

(1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减．

(4)复平面内的两点间距离公式:dz1—z2. 其中z1,z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数,d为点Z1和点Z2间的距离. 即两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离．

(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想．

【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成. （七）、布置作业 【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用．

八、板书设计

3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义

1、复数的加法法则

2、复数加法的运算律

3、复数的减法法则

4、复数减法的几何意义

5、例题

九、教后反思

本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念；对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力。效果较好！