30.1 二次函数优秀教学设计

课题

学科

22.1 二次函数

数学

知识与技能

范围。

课时

9.2 1 课型

设计教师

备课组长

谢爱华

审核领导

授课班级

新授课

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值三

维

目

标

教

学

重

点

教

学

难

点

教

学

方

法

教

学

资

源

教

学

流

程

过程与方法

情感态度与价值观

通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。

注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围

自主学习辅导法

多媒体课件

教 师 活 动

一、试一试

1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，

AB长x(m) 1 2 3 4 BC长(m) 面积y(m2)

5 6 7 8 9

12

48

学

生

活

动

可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识。

可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

设

计

意

图

实际问题导入，体现新知识的产生源于生活实际的需要。

情境

导入

2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗?

3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

教师可提出问题，

(1)当AB=xm时，BC长等于多少m? (2)(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

学

生

活

动

设

计

意

图

教 学

流 程

教 师 活 动

观察；概括

1、教师引导学生观察上面函数关系式，提出问题让学生思考回答；

(1)函数关系式的自变量各有几个?

(2)多项式－2x2＋20是几次多项式?

、

(3)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

2、二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c

(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

提出问题

1、同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?

2、我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?

3、一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?

例1、画二次函数y=x2的图象。

解：(1)列表：

x

…

－3 －2 －1 0 1 2 3 …

y …

9 4 1 0 1 4 9 …

(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

讨论归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

分别是二次多项式

让学生讨论、归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

归纳总结二次函数的定义二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c

(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项

结合实例更利于学生理解和接受新知识的产生与应用，经理探究能更好地运用所学知识解答实际问题。

利用手中的平面直角坐标系，根据要求画y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? 图像

复习

提问

新课

探究

归纳

概括

2、在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么? 3、将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么? 分组讨论，达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

归纳、概括

函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。

如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?

让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；

图象的这些特点反映了函数的什么性质?

学生填空：当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，

让学生讨论、交流，达成共识，并总结函数y=ax2的图像和性质。

1、二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。

2、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?

分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?

解：(1)列表

(2)描点

(3)连线

教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的特点；教师可引导学生类比1得出

教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)．

当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。

提出

问题

新知

探究

画出函数y＝2x2和函数

y＝2x2的图象，并加以比

较

…

0 1 2 3 －3 －2 －1

18 8 2 0 2 8 18

…

教师引导学生观察上表，19 9 3 l 3 9 19

…

当x依次取－3，－2，－

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的1，0，1，2，3时，两个

函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两函数的函数值之间有什个点之间的位置又有什么关系?

么关系，由此让学生归纳

得到，当自变量x取同一222教师引导学生观察函数y＝2x＋1和y＝2x的图数值时，函数y＝2x＋1象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点的函数值都比函数y＝22x的函数值大1。

(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳

得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的

点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动

了一个单位。

可以得到结论：函数y＝问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联2x2＋1的图象可以看成系? 是将函数y＝2x2的图象

向上平移一个单位得到问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗? 的。

完成填空：

12

问题6：在同一直角坐标系中。函数y＝－x＋23

当x______时，函数值y随x的增大而减小；12图象与函数y＝－x的图象有什么关系? 3当x______时，函数值y

随x的增大而增大，当x______时，函数取得最1问题7：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口3______值，最______值y＝______．

方向、对称轴和顶点坐标吗?

让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函归纳函数y＝ax2＋k图像的性质。

数y＝2x2的图象的开口

方向、对称轴相同，但顶小节：

点坐标不同。

1让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当3x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。

提出问题

1、在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝

11－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：

22

(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2、二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题? 问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数

提问

新知

探究

画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察

让学生在直角坐标系中

y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗? 问题3：现在你能回答前面提出的问题吗? 函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。

画出图来：教师巡视、指导。

让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：

让学生发表不同的意见，问题4：你能在同一直角坐标系中画出函数y归结为：函数y＝2(x＋1)222＝2(x＋1)与函数y＝2x的图象，并比较它们的联与函数y＝2x2的图象开系和区别吗? 口方向相同，但顶点坐标

和对称轴不同；函数y＝2

问题5：你能由函数y＝2x的性质，得到函数y22(x＋1)的图象可以看作2＝2(x＋1)的性质吗? 是将函数y＝2x2的图象

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x向左平移1个单位得到＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1的。它的对称轴是直线x时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，＝－1，顶点坐标是(－1，函数取得最小值，最小值y＝0。

0)。

2问题6：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)(函数y＝－(x＋2)2的图象可以看作是将函数y图象与函数y＝－x2的图象有何关系? ＝－x2的图象向左平移

2问题7：你能说出函数y＝－(x＋2)图象的开口方2个单位得到的。) 2:(函数y＝－(x十2)的向、对称轴和顶点坐标吗? 图象开口向下，对称轴是 2

问题8：你能得到函数y＝(x＋2)的性质吗? 直线x＝－2，顶点坐标 让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x是(－2，0))。

＜－2时，函数值y随x的增大而增大；

当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。

知旧

1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什孕新

么关系?

22

(函数y=2x＋1的图象可以看成是将函数y=2x

的图象向上平移一个单位得到的)

2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象

有什么关系? 新知

3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象探究

有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

二、试一试

你能填写下表吗?

向右平移

向上平移

1个单位

y=2(x－1)2

象

1个单位

0)

一、提出问题

教师组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数2y=2x象的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当

问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?

问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?

课堂

练习

做一做

问题4：在图3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 1

问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象31与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这3个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

练习1、2、3、4。

练习第4题提示：将－3x2－6x＋8配方，即

y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8

=－3(x＋1)2＋11 小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑? 作业：

1．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；

(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；

x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。

1函数y＝－(x－1)2＋23的图象可以看成是将函1数y=－x2的图象向右平3移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)

小结

作业

作

业

1、不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2、函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?

22.1 二次函数

板

书

设

计

函数y=a(x－h)2＋k的性质

函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。

当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，

当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；

当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。