11.1 因式分解教学设计及说课稿

《提公因式法》教学设计

石家庄市第七中学 霍娜

（一）设计背景

本节课是学生学习因式分解概念之后的进一步学习.

此教学设计是以2012年河北教育出版社出版的七年级数学下册144页《11.2提公因式法》作为授课内容. 提公因式法是因式分解中最基本、最常用的方法，确定公因式是提公因式法的基础和关键，所以要明确公因式的结构，还要逆用乘法分配律进行进一步的运算.

比如：找出多项式2x2y4xy26xy的公因式. 分析：首先得明确公因式的概念：一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.“各项都含有”在具体题目中指的是什么？学生理解时会有困惑，所以教材中又补充了具体的公因式确定的方法：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，并且相同字母的指数取次数最低的，所以多项式的公因式为2xy. 公因式的确定涉及到多项式中各项的系数、字母以及字母的指数，学生无论在哪个知识点中存在困惑，都会影响公因式的提取，造成解题错误，所以在课堂教学中，大部分老师把教学的关注点放在了公因式的确定上，生怕学生找不对公因式.从本文第三章的研究得出，学生还会在公因式提取后剩余项的确定上出错，解题过程中经常出现公因式提取后不补位的现象：abcbbbac，究其原因是没有掌握提公因式法的原理.基于以上分析，制定本教学设计的思路，采用教师引导的方式，以学生为主体，让学生经历知识和方法的形成，体验从乘法分配律的逆运算到提取公因式的过程.

（二）问题提出

（1）教材分析

本节是因式分解这一章的第2节内容，需要一个课时的课堂教学.主要让学生经历小学所学乘法对加法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，感受数学中重要的思想——类比思想，了解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.提公

因式法是因式分解最基本、最常用的方法之一，它不仅与前面所学的单项式乘多项式有着密切的联系，也是以后八、九年级学习分式的化简与运算、解一元二次方程的重要工具. （2）学情分析

初中生在小学阶段学习了因数分解的有关知识，比如找最大公约数，在前面一章的学习中也学习有关幂的知识，从本文的研究来看，学生在应用提公因式法进行因式分解中，找不对公因式和提取公因式后不补位是错误率最高的，针对学生的错误情况，在课堂教学中创设问题情境，进行纠错教学，防止学生出错. 在本章第一节因式分解概念学习的基础上，学生了解了多项式的因式分解的意义，知道了因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系，进一步通过观察、类比等方法，探求因式分解与因数分解之间的互逆关系，学生已具有了一定的活动经验，这就为本节课因式分解方法的学习提供了必要的基础.同时七年级的学生已经具备了一定的自主学习能力，应多为学生创造自主学习、合作交流学习的机会，让他们养成主动参与、勤于动手、从而乐于探究的良好学习习惯. （3）教学目标

①知识与技能

（A）理解公因式及提公因式法的方法. （B）会应用提公因式法把多项式进行分解因式. （C）进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. ②过程与方法

（A）通过类比探究的方式，经历独立思考、小组合作交流总结提公因式法的一般步骤和方法，逐步形成独立思考、主动探索的习惯. （B）通过考察具体示例中的方法，使学生理解提公因式法的算理就是逆用乘法分配律，体会分解因式与整式乘法的互逆关系. （C）培养学生观察、比较、归纳、分析、反思的能力. ③情感态度与价值观

通过有一定梯次的题型探究，让学生自己动手、动脑、互相交流完成学习任务，锻炼学生克服困难的意志，培养学生的合作意识及解决问题的能力. （4）教学重点、难点

重点：公因式的概念及提公因式法的应用.

难点：正确找出多项式中各项的公因式以及提公因式后另一个因式的确定. （5）教学方法

根据本节课的教学内容，遵循学生认知规律和心理特点，为了突出重点，突破难点，采用观察、比较、讨论、归纳等多种方法交叉教学，利用多媒体辅助教学.教学过程中注重知识的形成过程，充分调动多种感官参与教学，激发学生学习的兴趣，让学生体会“探索、发现、再发现、创造”的过程. （6）学法分析

“学”是中心，“会”是目的，在教学过程中，通过创设问题串的形式，从学生原有的知识基础出发，激发学生“乐学”；启发诱导，以指导学生“会学”；变式训练，以引导学生“活学”；反思解题过程，以指导学生“善学”.使学生通过观察、比较、分析、概括等一系列思维训练，不断提高学习数学的探究意识和创新能力. （三）教学过程

（1）问题导学、引出课题

问题1：计算3693736963，看谁算的又快又好！

设计意图:

学生在小学已经学习了逆用乘法分配律进行运算，他们能够迅速找到式子中各项所含有的相同因数369，因此可以提取公因数369进行简便运算，学生在整个计算过程中感受到各项都含有的因数369是可以提取出来的，从而使运算简便，这样设计是为本节课学习提公因式法做好铺垫，实现由数到式的过渡. 问题2：多项式mambmc有几项？每一项的因式有哪些？这些项中有没有公共的因式？若有，是哪个？

问题3：多项式ab22a2b的两项中，每一项的因式是什么？有没有公共的因式？若有，是哪些？

设计意图：这两个问题的设置都具有目的性，学生类比问题1中相同因数369的确定，在问题2中能够直观地快速找到公共的因式，并且公共的因式有且只有字母m；对于问题3中的两项，针对本研究测试卷中学生在提公因式法的应用中，经常出现“公因式有而不提”和“公因式提后不补位”的现象，所以在教学中引导学生依据乘方的意义，把每一项写成字母乘积的形式，如：ab2abb，2a2b2aab，此种形式让学生能够直观的找到公共的因式是有三项情况：a,b,ab，也就是说一个多项式的公因式可能不止一个，但是次数最高的公因式只

有一个（不计系数），在此可以提及但是不给出概念，待到“提公因式法分解因式”时，以“将所有的公因式都提出了”再进行讲解. 教师引导学生采用类比的方法从寻找相同的因数过渡到从多项式中寻找相同的因式，由于有问题1的铺垫，所以从数过渡到式，学生能很快地找到这些式子中相同的因式，从而引出公因式的概念，提出本节课的课题. 师生活动：教师出示幻灯片提出问题，由学生进行解答、相互补充、总结，教师适时引导学生体会公因式的概念：一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式. 问题4：请你逆用乘法对加法的分配律，把这两个多项式中的公因式写到括号外面，作为积的一个因式，说一说你选取的公因式是哪个？

设计意图：问题4的设置是此教学设计的亮点，在本文的研究中发现学生应用提公因式法进行多项式的因式分解时，公因式提而不尽的错误现象较多，为了尽可能避免学生发生此类错误，所以采用问题的形式，通过考察具体示例中的方法，使学生理解提公因式法的算理就是逆用乘法分配律，在此基础上给出提公因式法的概念.如果教师直接给出概念和形式，即使多次强调，由于学生没有经历方法的形成过程，而是依靠老师的讲解，所以在头脑中的印象不深刻，在以后的解题中容易出错. 师生活动：教师给出问题后，学生在思考，由于问题1中提公因数运算铺垫，学生对于第一个多项式mambmc

的变形不会感觉到困难，但是对于多项式ab22a2b的公因式的提取中，学生确定的公因式会有三种，提取a，提取b，或者提取ab

，此时教师引导学生，我们需要把次数最高的公因式（不计系数）提出来，写成下面的形式：

mambmcmabc；

ab22a2babb2aababb2a. 这种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法. 此时通过确定不同公因式的提取，强调了提公因式法中要“将所有的公因式都提出来”，以后所说的提公因式法中的“公因式”指的是“次数最高的公因式（不计系数）”，通过逆用幂的乘法运算展开单项式、逆用乘法分配律、提取公因式的过程，加深学生对提公因式法运算的理解. 虽然教材中在第二个多项式提取公因式时给出了如下的运算形式

ab22a2babb2a，但是在本节课的教学设计上，笔者还是从学生的认知和已有知识出发，注重知识和方法的形成过程，利用乘方的意义展开每一项，便于学生寻找公因式、提取公因式，更方便学生快速地确定好提取公因式后的剩余项，为后面的进一步的学习打好基础. 那么对于含有字母较多，并且字母的指数较高的多项式的公约式如何确定呢？引导学生进入下一个环节学习. （2）自主学习，合作交流

知识点一：公因式的确定

做一做：先独立思考写出下列多项式的公因式，然后小组内交流，谈谈你是如何快速确定公因式的：

①6x9x2；

②abc2a；

③abcab22ab；

④2x24xy26xy；

设计意图：

让学生从公因式概念出发，独立思考、分析、小组合作交流确定答案，并思考如何确定一个多项式的各项公因式.本环节中让学生体会由简到难寻找公因式的过程，引导学生归纳确定公因式的方法，培养学生的初步归纳能力.此环节是本节课的一个小高潮，通过生生间的相互交流，让学生体会确定公因式时，不仅要注意“字母”公因式，也要注意“数字公因式”，最后确定公因式. 师生活动：学生独立思考后，小组内交流答案，最后归纳总结确定公因式的方法，小组派代表与大家分享. 学生通过解答具有代表性的例题，然后合作交流归纳出多项式公因式确定的方法：当多项式的各项系数都是整式时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项相同的字母，并且相同字母的指数取次数最低的.学生寻找公因式的过程，实际上是学生在经历概念的形成过程，加深对概念的理解.在教师的引导下，通过生生间的交流，或发生冲突或产生共鸣，最终得出公因式的确定方法及注意事项，教师板书简记为“定系数、定字母、定指数”. 知识点二：提公因式法

试一试：先指出下列多项式的公因式，再进行因式分解：

①

x22x；

②

2x24x；

③

2a2x6ax2；

④

4a412a316a2；

⑤

ab5bcb. 设计意图：这5个小题由易到难、各具代表性，让学生自己体会应用提公因式法进行多项式的因式分解的过程，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备，教师引导学生总结提公因式法的步骤，培养学生分析问题、解决问题以及归纳概况的能力. 教材中给出了前4个小题，根据本研究测试卷中的学生错误表现，笔者又编制了第⑤小题ab5bcb，因为学生在提取公因式时经常会出现提公因式后不补位的错误.本环节的设置非常重要，一定要让学生自己体会公因式及提公因式法，通过小组内、小组间的交流，把学生的的困惑点、易错点逐步解决，从而突出重点突破难点. 师生活动：教师幻灯片出示问题，学生独立思考后，小组内进行合作交流，然后由四个小组派代表进行展示、讲解，教师适时提问补充.虽然有了因数分解的基础以及对提公因式法的正确理解和运用，学生还是不能较快地从数的分解过渡到式的因式分解，教师应多鼓励学生深入思考、互帮互助、迎难而上、战胜困难.最后总结归纳提公因式法的步骤及注意事项：（1）确定公因式时，不仅要注意“字母公因式”，也要注意“数字”公因式，以防遗漏，比如：6x9x2中，3x是公因式；（2）在提取公因式时，要提出全部的公因式，否则不是最后的分解结果，分解一定要进行彻底.比如：2a2x6ax22a2x3ax2，或2a2x6ax2ax2a6x，或者是2a2x6ax2a2ax6x2等都不对，最后的结果应该是2a2x6ax22axa3x. 根据测试卷中学生的易错点，加强自我反思监控意识，本环节设置矫正对策：（1）确定公因式时，对于初学者，可根据乘方的意义，把每一项写成公因式与另一项乘积的形式，例如：

4a412a316a24a2a24a23a4a24

4a2a23a4.这样书写的目的一方面利于寻找公因式，另一方面便于确定提取公因式后的剩余项.（2）提公因式法只是对多项式进行了恒等变形，分解后不会改变多项式的结构组成，一定要检查因式分解后括号内多项式的项数与原多项式的项数是否相同. 教师引导学生归纳提公因式法的步骤并板书：一找、二定、三提、四验. 谈一谈：三名同学对多项式2x24x分解因式的结果如下：

①2x24x2x2x

②2x24xx2x4

③2x24x2xx2. 请你谈谈用提公因式法分解因式应注意哪些问题？

设计意图：与“试一试”环节相结合，从正反两方面的例子概括出“分解因式要彻底”，辨析讨论，让学生体会“彻底”的含义就是不能再提取公因式，强调提公因式法应注意的一些事项，培养学生解题之后的检验反思意识. 师生活动：结合部分学生对多项式2x24x因式分解的三种结果，让他们找出分解错误的原因，再次让学生概括提公因式法应注意的一些事项：a.确定公因式时，不仅要注意“字母”公因式，也要注意“数字”公因数；b.提取公因式时，要提出全部的公因式，否则不是最后的分解结果.

（3）拓展延伸，展示评价

例1 把下列多项式分解因式：

①3x26xy3xz；

②3a2b9a2b26a2b；

③2abc5bc. 设计意图：例1中的每个题具有各自特点，从符号、提公因式后的剩余项、整体思想等三个方面检验学生对提公因式法的掌握情况.结合学生在因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生归纳出对于复杂的多项式，在应用提公因式法时的注意事项，本环节的设置是提公因式法的深入学习，由于学生在“试

一试”环节积累了学习经验，所以给出的3个题具有综合性的特点，增强学生对本节课的理解和掌握.通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏. 师生活动：教师出示幻灯片.学生先独立思考，然后小组内交流答案，小组代表实物投影展示解题步骤，学生间交流解题方法及评价解题过程.教师从学生掌握的情况出发，适时点评学生们的解答情况，观察学生出现的问题是在寻找公因式方面还是在提公因式方面没有掌握好，最后教师再加以强调公因式的确定方法和提公因式时应该注意的事项. 在第①题中，教师要告诉学生公因式的系数是负数时，提公因式后各项要改变符号，在运算中要应用添括号的知识.第③题，在本文测试卷中学生的错误表现看，学生容易混淆因式分解与整式乘法的运算，应用单项式乘多项数的法则把括号去掉，如：2abc5bc2ab2ac5b5c，针对此类现象，教师要引导学生从最后的结果形式上检验分解是否正确，再次强调整式乘法与因式分解的不同，加深学生对因式分解概念的理解. （4）归纳总结，回归课题

学生回忆总结这一节课的内容：①公因式概念及如何找公因式；②提公因式法的步骤及注意事项.教师引导式小结帮助学生梳理本节课内容，使学生形成良好的知识体系. （5）分层作业，兼顾全体

基础达标：课本146页 A组 1,2,3,4,5. 拓展延伸：课本147页 B组 1,2,3. 课后作业是学生巩固知识，训练技能，培养能力和发展思维的方式.由于学生自身的知识储备、思维能力、学习习惯等存在着个性差异，教师实施简单的“一刀切”的作业模式，很难兼顾到学生学习的个性差异.设计分层作业，一方面调动学困生的学习积极性，另一方面使优等生更上一层楼，给不同的学生提供展示自我的平台. （6）教学反思

通过本研究的中学生在应用提公因式法时的错误表现，精心备课，有针对性的设计本节课的教学内容，力求避免学生出错.

①立足学生经验，采用类比教学

在学生的学习中，已有的知识和经验是新的认识活动的必要基础，教师在引导学生学习新知识的活动中，应十分注意和重视学生已有的知识经验.教师创设问题，让学生类比数的因数分解学习式的因式分解，激活学生知识的“生长点”，使新知识在此基础上自然而然地生长出来，这种自然生长的过程，也就是建立学习内容与学生所熟悉的知识之间的合理的、实质的联系的过程，从而促进了新、旧知识的自然同化. ②问题梯次设置，提升数学技能

提取公因式法的学习层次有：什么是公因式，如何找公因式，怎样提公因式.在进入较高层次时，较低的活动就成为分析的对象，其中的每一个层次都不可跳过.由此设置阶梯式问题，由浅入深，层层深入引导学生运用提公因式法进行因式分解，通过学生中出现的解题错误情况，归纳总结应用提公因式法的注意事项. ③要给学生们充分讨论的时间，通过生生、师生交流突破本节课的难点，教师切记不要包办，及时对不同学生的质疑给予鼓励和评价，注重培养学生分析问题、解决问题的能力. ④在实际课堂教学训练中侧重于方法的指导，对学生检验反思的必要性强调不够，部分学生在作业中还是出现马虎大意的错误，在以后的教学中尽量避免此类现象的发生，不仅重视知识和方法的形成过程，还要重视落实，力争让学生通过本节课的学习不但能够把方法应用好，而且还做到解题正确，从而打造有效课堂教学.