幂的乘方优质公开课教案

学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的意义,并能解决实际问题.

经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.

体会学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.

【重点】

幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.

【难点】

幂的乘方性质的逆运用.

【教师准备】

课堂中的提问问题设计.

【学生准备】

预习教材P71~72.

导入:

填空.

(1)(23)2=23×23=2(

);

);

(2)(72)3=72×(

)×(

)=7(

(3)(a3)2=a3×(

)=a(

).

【处理方式】

同学们仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系,结果中的底数与原式的底数之间有什么关系.

[过渡语]

如果几个同底数幂的指数都相同,那么同底数幂相乘的结果可以用幂的乘方表示.

活动1

探究幂的乘方法则

思路1

1.依据同底数幂乘法的性质计算:210×210×210=

.(210+10+10=230)

根据乘方的意义210×210×210可以表示为

.(

=23×10=230)

由此,能得到什么结论?(相同底数和指数的幂相乘,底数不变,指数相加)

2.

表示3个102相乘,

=106.

表示4个a3相乘,

=a12.

观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m,n是正整数,则

=

.(amn)

事实上,根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质,对于正整数m,n,有:

个

=

个

=

=amn.

=amn(m,n是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

运用这个性质可以直接进行幂的乘方运算.

思路2

1.你知道(102)3等于多少吗?

【学生展示】

计算过程:

=102×102×102

①

=102+2+2

②

=106

=102×3

第①步和第②步推出的理由是什么呢?

【点拨】

第①步的理由是利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.

观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?

【点拨】

结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.

2.做一做:计算下列各式并说明理由.

(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.

【处理方式】

通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.

【师生活动】

展示解答过程:

(1)(62)4=62·62·62·62=62+2+2+2=68.

(2)(a2)3=a2·a2·a2=a2+2+2=a6=a2×3.

(3)(am)2=am·am=am+m=

.

个

(4)(am)n=

个

=

=amn.

[知识拓展]

由上面的“做一做”我们推出了幂的乘方的运算性质,即:

(am)n=amn(m,n都是正整数).

用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.

思路3

1.x3表示什么意义?

2.如果把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?

3.怎样把a2·a2·a2·a2=a2+2+2+2写成比较简单的形式?

4.由此你会计算(a4)5吗?

5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.

(1)(53)2=53×53=5(

);

);

).

(2)(52)3=(

)×(

)×(

)=5(

(3)(a3)5=a3×(

)×(

)×(

)×(

)=a(

6.用同样的方法计算:(a3)4;(a11)9;(b3)n(n为正整数).

这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.

个

(a11)9=

=

=a99.

个

个

(b3)n=

=

=b3n.

个教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:

(23)2=23×2=26;(32)3=32×3=36;

(a11)9=a11×9=a99;(b3)n=b3×n=b3n.

观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系,结果中的底数与原式的底数之间有什么关系.

怎样说明你的猜想是正确的?

(am)n=

(乘方的意义)

个

个

=

(同底数幂的乘法)

=amn(乘法定义),

即(am)n=amn(m,n是正整数).

这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘.

[设计意图]

通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.

活动2

例题讲解

计算.

(1)

;(2)

;(3)

.

解:(1)

=103×4=1012.

(2)

=c2×3=c6.

(3)

=a4×m=a4m.

计算.

(1)x·

;

(2)a·a2·a3-

.

解:(1)x·

=x·x2×3=x·x6=x7.

(2)a·a2·a3-

=a6-a6=0.

[知识拓展]

1.幂的乘方的底数、指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或多项式.

2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.

3.幂的乘方公式还可逆用:amn=(am

=(an)m.

(am)n=amn(m,n都是正整数).

幂的乘方,底数不变,指数相乘.

板书设计：

8.2幂的乘方

活动1

探究幂的乘方法则

活动2

例题讲解

例1 例2 布置作业

【必做题】

教材第72页习题A组的第1,2题.

【选做题】

教材第73页习题B组的第2题.