3.3 复数的几何意义板书设计及意图

3.3复数的几何意义

教学目标：１．了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；

２．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

教学重点、难点：复数的向量表示；

复数加法与减法的几何意义．

教学过程：

一．问题情境：在几何上，实数可以用数轴上的点来表示。

实

数数轴上的点

（数）

（形）

类比实数的表示，可以用什么来表示复数？

二．引入新课：

１．复数的几何意义：

复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系: 有序实数对(a,b)

一一对应复数zabi直角坐标系中的点Z(a,b)

一一对应（数）

（形）

我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

２．复数的向量表示：因为复平面内的点Z(a,b)与以原点为起点、以Z(a,b)为终点的向量oz一一对应（实数０与零向量对应），所以复数zabi也可以用向量oz来表示．

一一对应直角坐标系中的点z(a,b)

复数zabi

平面向量

oz

1

为方便起见，常把复数zabi说成点Z或向量oz．并规定相等的向量表示同一个复数．

３．复数的模：向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数zabi的模（或绝对值）记作|Z|或abi

|Z|＝abi＝a2b2

复数的模的几何意义：复数zabi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。

４．复数加法、减法的几何意义：

如下图（１），设向量OZ1，OZ2分别与复数z1＝abi,z2cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，以OZ1，OZ2为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ所表示的向量OZ就是与复数z1z2(ac)(bd)i对应的向量．

yZ1Z2O

yZ2Z1O(2)Zx(1)xZ根据复数减法的定义以及复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义．

如图（２），向量OZ1，OZ2分别与复数z1,z2对应，则它们的差z1z2对应着向量OZ1OZ2，即向量Z2Z1．如果作OZ＝Z2Z1，那么点Ｚ对应的复数就是z1z2．

z1z2(ac)(bd)i，故z1z2OZZ2Z1(ac)2(bd)2．

这表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．

例题讲解：

2

例１．已知复数z(m2m6)(m2m2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．

例２．求下列复数的模：

（１）z15i

（２）z234i

（３）z355i

（４）z41mi(mR)

（５）z54a3ai(a0)

例３．设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

（１）z2；

（２）2z3

小结：复数模的一些性质：zz

z2zzz

2z1z2z1z2，

z1z1(z20)．

z2z2

课堂练习：

1 .在复平面内画出23i,42i,13i,4i,30i所对应的向量.

3

2.在复平面内指出与复数z112i，z223i，z332i，z42i对应的点Z1，Z2，Z3，Z4.试判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

a27a63. 已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，对应的点2a1（1）在实轴上；（2）位于复平面第一象限；（3）在直线xy0上；（4）在上半平面（含实轴）

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